QUESTÃO 3 (6 pontos)

Use o Teorema de Green para calcular \oint_{C}\left(8 y+e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(3 x+\sqrt{y^{4}-\sqrt{7}}\right) d y onde C é o círculo

Passo 1

O enunciado fornece a integral de linha
\oint_{C}\left(8 y+e^{\operatorname{sen} x}\right)\,d x+\left(3 x+\sqrt{y^{4}-\sqrt{7}}\right)\,d y
onde C é “o círculo”. As informações e perguntas que extraí do enunciado são:
  • Dados fornecidos:
    • A função P(x,y)=8y+e^{\operatorname{sen} x}.
    • A função Q(x,y)=3x+\sqrt{y^{4}-\sqrt{7}}.
    • A curva C é um círculo (não foi especificado centro, raio nem orientação).
  • O que o enunciado pede: calcular o valor da integral de linha dada ao longo de C.
  • Informação faltante que é necessária para um valor numérico:
    • O raio do círculo (ou sua área) e seu centro.
    • A orientação de C (padrão em muitos exercícios é orientar C positivamente, isto é, no sentido anti-horário—vou assumir essa orientação positiva quando aplicável, mas vou explicitar onde isso importa).
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \sqrt{y^{4}-\sqrt{7}} é real somente quando y^{4}\ge\sqrt{7}, isto é, quando |y|\ge 7^{1/8}. Se a região interior ao círculo contiver pontos em que y^{4}-\sqrt{7}<0, então Q não está definida (em reais) em toda a região e o teorema de Green não se aplica diretamente nesse caso. Portanto é necessário que o círculo esteja contido no domínio onde Q é real para que a aplicação de Green seja válida.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Green (explicação didática):
  • Se C é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário), e D é a região plana limitada por C, e se P e Q são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança aberta que contém D, então vale
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • O que cada símbolo significa:
    • P(x,y) é o coeficiente de dx na integral de linha.
    • Q(x,y) é o coeficiente de dy.
    • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, isto é, tratando y como constante.
    • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, tratando x como constante.
    • dA é o elemento de área ( dA=dx\,dy).
  • Intuição prática: a integral de linha ao longo da fronteira transforma-se numa integral dupla sobre a região interna; muitas integrais de linha complicadas viram integrais de área simples (frequentemente multiplicando a área por uma constante).

Passo 3

Verificação das hipóteses de Green para este problema:
  • Precisamos que P e Q sejam definidas e que \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y sejam contínuas em uma vizinhança aberta que contenha D.
  • Aqui:
    • P(x,y)=8y+e^{\operatorname{sen} x} está definida e é suave (todas as derivadas parciais existem e são contínuas) em todo \mathbb{R}^2.
    • Q(x,y)=3x+\sqrt{y^{4}-\sqrt{7}} exige que y^{4}-\sqrt{7}\ge 0 para ser real. Então é preciso garantir que toda a região D esteja dentro do conjunto \{(x,y):|y|\ge 7^{1/8}\}. Se isso não ocorrer, Green NÃO se aplica diretamente porque Q não estaria definida em toda D.
  • Pressupondo que o círculo C foi escolhido de modo que Q seja real e que as derivadas parciais necessárias existam e sejam contínuas em uma vizinhança de D, podemos aplicar Green.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais que entram em Green (mostrando passo a passo):
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=3x+\sqrt{y^{4}-\sqrt{7}} e a segunda parcela depende somente de y, a derivada parcial em relação a x é apenas a derivada de 3x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=3.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=8y+e^{\operatorname{sen} x} e a segunda parcela depende somente de x, temos
\frac{\partial P}{\partial y}=8.
  • Portanto o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3-8=-5.
Explicando: deu uma constante! Isso é ótimo porque a integral dupla de uma constante sobre D é simplesmente essa constante vezes a área de D.

Passo 5

Redução da integral de linha à integral de área e interpretação:
  • Pela fórmula de Green, sob as hipóteses válidas,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} (-5)\,dA \;=\; -5\iint_{D} dA \;=\; -5\cdot \text{Area}(D).
  • Ou seja, a integral pedida vale -5 vezes a área da região D delimitada pelo círculo C.
  • Se o círculo C tem raio R (qualquer centro, pois a área do disco depende só de R), então \text{Area}(D)=\pi R^{2} e
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; -5\pi R^{2},
assumindo orientação positiva (anti-horário). Se a orientação de C for a oposta (horário), o sinal inverte e o resultado seria 5\pi R^{2}.
  • Lembrete sobre domínio: isto só é correto numericamente se o disco de raio R estiver contido no conjunto onde Q é real, isto é, se para todo ponto do disco se tem |y|\ge 7^{1/8}. Caso contrário, Q não está definida em toda a região e não se pode aplicar Green diretamente sem mais cuidados (por exemplo, trabalhar em partes ou considerar extensão complexa, o que foge ao escopo).

Resposta

-5\cdot\mathrm{Area}(D)
Se C é um círculo de raio R e está orientado positivamente, então -5\pi R^{2}.

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