QUESTÃO 3 (6 pontos)
Use o Teorema de Green para calcular
onde
é o círculo
Passo 1
O enunciado fornece a integral de linha
onde
é “o círculo”. As informações e perguntas que extraí do enunciado são:
- Dados fornecidos:
- A função
. - A função
. - A curva
é um círculo (não foi especificado centro, raio nem orientação).
- A função
- O que o enunciado pede: calcular o valor da integral de linha dada ao longo de
. - Informação faltante que é necessária para um valor numérico:
- O raio do círculo (ou sua área) e seu centro.
- A orientação de
(padrão em muitos exercícios é orientar positivamente, isto é, no sentido anti-horário—vou assumir essa orientação positiva quando aplicável, mas vou explicitar onde isso importa).
- Observação importante sobre domínio: a expressão
é real somente quando , isto é, quando . Se a região interior ao círculo contiver pontos em que , então não está definida (em reais) em toda a região e o teorema de Green não se aplica diretamente nesse caso. Portanto é necessário que o círculo esteja contido no domínio onde é real para que a aplicação de Green seja válida.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Green (explicação didática):
- Se
é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário), e é a região plana limitada por , e se e são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança aberta que contém , então vale
- O que cada símbolo significa:
-
é o coeficiente de na integral de linha. -
é o coeficiente de . -
é a derivada parcial de em relação a , isto é, tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é o elemento de área ( ).
-
- Intuição prática: a integral de linha ao longo da fronteira transforma-se numa integral dupla sobre a região interna; muitas integrais de linha complicadas viram integrais de área simples (frequentemente multiplicando a área por uma constante).
Passo 3
Verificação das hipóteses de Green para este problema:
- Precisamos que
e sejam definidas e que e sejam contínuas em uma vizinhança aberta que contenha . - Aqui:
-
está definida e é suave (todas as derivadas parciais existem e são contínuas) em todo . -
exige que para ser real. Então é preciso garantir que toda a região esteja dentro do conjunto . Se isso não ocorrer, Green NÃO se aplica diretamente porque não estaria definida em toda .
-
- Pressupondo que o círculo
foi escolhido de modo que seja real e que as derivadas parciais necessárias existam e sejam contínuas em uma vizinhança de , podemos aplicar Green.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais que entram em Green (mostrando passo a passo):
- Calcular
. Como e a segunda parcela depende somente de , a derivada parcial em relação a é apenas a derivada de :
- Calcular
. Como e a segunda parcela depende somente de , temos
- Portanto o integrando de Green é
Explicando: deu uma constante! Isso é ótimo porque a integral dupla de uma constante sobre
é simplesmente essa constante vezes a área de
.
Passo 5
Redução da integral de linha à integral de área e interpretação:
- Pela fórmula de Green, sob as hipóteses válidas,
- Ou seja, a integral pedida vale
vezes a área da região delimitada pelo círculo . - Se o círculo
tem raio (qualquer centro, pois a área do disco depende só de ), então e
assumindo orientação positiva (anti-horário). Se a orientação de
for a oposta (horário), o sinal inverte e o resultado seria
.
- Lembrete sobre domínio: isto só é correto numericamente se o disco de raio
estiver contido no conjunto onde é real, isto é, se para todo ponto do disco se tem . Caso contrário, não está definida em toda a região e não se pode aplicar Green diretamente sem mais cuidados (por exemplo, trabalhar em partes ou considerar extensão complexa, o que foge ao escopo).
Resposta
Se