Questão 2 ( 5 pontos) Use o teste da razão para determinar se a seguinte série converge:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(3 k)!}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(3k)!}.
O teste da razão diz: seja a_{k} o termo geral; calcule
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{k} = \frac{(k!)^{2}}{(3k)!},
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a_{k+1} = \frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(3k+3)!}.
Então
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(3k+3)!} \;\bigg/\; \frac{(k!)^{2}}{(3k)!} = \frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(k!)^{2}} \;\cdot\; \frac{(3k)!}{(3k+3)!}.

Passo 3

Note que (k+1)!=(k+1)\,k!, então \bigl((k+1)!\bigr)^{2}=(k+1)^{2}(k!)^{2}.
E (3k+3)!=(3k+3)(3k+2)(3k+1)\,(3k)!.
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\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{(k+1)^{2}(k!)^{2}}{(k!)^{2}} \;\cdot\; \frac{(3k)!}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)\,(3k)!} = \frac{(k+1)^{2}}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}.

Passo 4

Calculamos o limite
L = \lim_{k\to\infty} \frac{(k+1)^{2}}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}.
No numerador cresce como k^{2} e no denominador como 27\,k^{3}, portanto
L = 0.

Passo 5

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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