QUESTÃO 3
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função a integrar é
. - Procuramos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Iremos incluir a constante de integração
no resultado final.
Passo 2
Qual método usar? Aqui escolhemos a técnica de integração por partes, porque:
- A função é produto de um polinômio
e uma exponencial . - Polinômios tornam-se mais simples ao serem diferenciados, e exponenciais são fáceis de integrar. Então é natural diferenciar o polinômio e integrar a exponencial.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se tomarmos duas funções
e
, então
Integrando ambos os lados em
obtemos
Rearranjando, obtemos a fórmula usada:
onde
e
. Vou sempre explicar o que cada símbolo significa quando aplicar.
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes:
- Escolher
e . Uma regra prática: escolha como a parte que fica mais simples ao diferenciar (aqui o polinômio) e como o resto.
Escolho
Isso significa que
será a diferencial de
e
será uma primitiva de
.
Passo 4
Calcular
e
:
- Diferenciando
:
- Integrando
:
Para integrar
, use substituição simples: se
então
, logo
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula de partes:
Substituindo
,
e
que achamos:
Simplificando o integrando (note que
):
Agora restou resolver
.
Passo 6
Segunda aplicação de integração por partes para
.
Escolho novamente diferenciar o polinômio:
Escolho novamente diferenciar o polinômio:
Isso dá
Usando a fórmula
, obtemos:
Passo 7
Calcular a última integral simples:
Portanto
onde
é uma constante de integração (vou juntar constantes no final).
Passo 8
Voltar à expressão obtida no Passo 5 e substituir
. Tínhamos
Substituindo o resultado do Passo 7 (ignorando por enquanto a constante separada, que será incorporada depois):
Agora fazer a distribuição do sinal e simplificar:
Fatorando
para apresentar de forma compacta:
Passo 9
Cheque rápido (como conferir na prova): derivando a resposta encontramos de volta o integrando. Derivar
usando a regra do produto e simplificar deve retornar
. Isso confirma que a primitiva está correta. Dica alternativa: para quem gosta de método mais mecânico, pode-se usar o método “tabular” (ou tabela) de integração por partes para polinômio vezes exponencial; o resultado será o mesmo e muitas vezes é mais rápido em prova.
Passo 10
Força aí — essa integral é um clássico de integração por partes repetida. Se decorar o procedimento (polinômio como
, exponencial como
, repetir até o polinômio sumir) você resolve várias questões semelhantes com rapidez.