QUESTÃO 3

u=x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2 x \Rightarrow d u=2 x d x \quad d v=e^{2 x} d x \Rightarrow \frac{d v}{d x}=e^{2 x} \Rightarrow v=\frac{1}{2} e^{2 x}
\int x^{2} e^{2 x} d x=\int u d v=u v-\int v d u=x^{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2 x d x=\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x}-\int x e^{2 x} d x
m=x \Rightarrow \frac{d m}{d x}=1 \Rightarrow d m=d x \quad d n=e^{2 x} d x \Rightarrow \frac{d n}{d x}=e^{2 x} \Rightarrow n=\frac{1}{2} e^{2 x}
\int x e^{2 x} d x=\int m d n=m n-\int n d m=x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x=\frac{1}{2} x e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+c
\langle 1\rangle e\langle 2\rangle: \int x^{2} e^{2 x} d x=\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x}-\left(\frac{1}{2} x e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+c\right)=\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} x e^{2 x}+\frac{1}{4} e^{2 x}+c=\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}\right) e^{2 x}+c, c \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{2x}\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função a integrar é x^{2} e^{2x}.
  • Procuramos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2} e^{2x}.
  • Iremos incluir a constante de integração C no resultado final.

Passo 2

Qual método usar? Aqui escolhemos a técnica de integração por partes, porque:
  • A função é produto de um polinômio x^{2} e uma exponencial e^{2x}.
  • Polinômios tornam-se mais simples ao serem diferenciados, e exponenciais são fáceis de integrar. Então é natural diferenciar o polinômio e integrar a exponencial.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se tomarmos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integrando ambos os lados em x obtemos
u v=\int u'\,v\,dx+\int u\,v'\,dx.
Rearranjando, obtemos a fórmula usada:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=u'\,dx e dv=v'\,dx. Vou sempre explicar o que cada símbolo significa quando aplicar.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes:
  • Escolher u e dv. Uma regra prática: escolha u como a parte que fica mais simples ao diferenciar (aqui o polinômio) e dv como o resto.
    Escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Isso significa que du será a diferencial de u e v será uma primitiva de dv.

Passo 4

Calcular du e v:
  • Diferenciando u=x^{2}:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
  • Integrando dv=e^{2x}\,dx:
v = \int e^{2x}\,dx.
Para integrar e^{2x}, use substituição simples: se t=2x então dt=2\,dx, logo
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Portanto
v=\frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de partes:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du que achamos:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot (2x\,dx).
Simplificando o integrando (note que \tfrac{1}{2}\cdot 2x = x):
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.
Agora restou resolver \int x e^{2x}\,dx.

Passo 6

Segunda aplicação de integração por partes para \int x e^{2x}\,dx.
Escolho novamente diferenciar o polinômio:
m = x,\qquad dn = e^{2x}\,dx.
Isso dá
dm = dx,\qquad n = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Usando a fórmula \int m\,dn = m n - \int n\,dm, obtemos:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.

Passo 7

Calcular a última integral simples:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Portanto
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (vou juntar constantes no final).

Passo 8

Voltar à expressão obtida no Passo 5 e substituir \int x e^{2x}\,dx. Tínhamos
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.
Substituindo o resultado do Passo 7 (ignorando por enquanto a constante separada, que será incorporada depois):
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right) + C.
Agora fazer a distribuição do sinal e simplificar:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C.
Fatorando e^{2x} para apresentar de forma compacta:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)e^{2x} + C.

Passo 9

Cheque rápido (como conferir na prova): derivando a resposta encontramos de volta o integrando. Derivar
F(x)=\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)e^{2x}
usando a regra do produto e simplificar deve retornar x^{2}e^{2x}. Isso confirma que a primitiva está correta. Dica alternativa: para quem gosta de método mais mecânico, pode-se usar o método “tabular” (ou tabela) de integração por partes para polinômio vezes exponencial; o resultado será o mesmo e muitas vezes é mais rápido em prova.

Passo 10

Força aí — essa integral é um clássico de integração por partes repetida. Se decorar o procedimento (polinômio como u, exponencial como dv, repetir até o polinômio sumir) você resolve várias questões semelhantes com rapidez.

Resposta

\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)e^{2x}+C

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