Questão 3. Sabendo-se que o polinômio
tem 100 raízes reais e que
, mostre que
possui pelo menos uma raiz maior que 7 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O polinômio é
- O polinômio tem
raízes reais (contadas com multiplicidade). Denotar essas raízes por . - Sabe-se que
.
A pergunta é: mostrar quepossui pelo menos uma raiz maior que .
Passo 2
Usar a fatoração pelo teorema fundamental da álgebra (como todas as raízes são reais):
Em particular,
Também pela relação entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète) para um polinômio moníco
, o coeficiente de
é
. No nosso caso o coeficiente é
, logo
Passo 3
Suponha, por contradição, que nenhuma raiz seja maior que
. Então todos os
satisfazem
. Defina
Pelo pressuposto cada
é um número real não negativo (
). Calculando a soma:
Passo 4
Em termos dos
temos, usando a fatoração,
Pelo passo anterior os
são não negativos e satisfazem
. Queremos ver se é possível que
.
Passo 5
Aplicar a desigualdade da média aritmética e geométrica (AM-GM). Vou explicar o que é e por que vale aqui:
- Enunciado da AM-GM (caso
): para números reais não negativos ,
Isto significa que a média geométrica é menor ou igual à média aritmética. A igualdade ocorre exatamente quando todos os
são iguais.
- Aplicação ao nosso caso: temos
, então a média aritmética é . Pela AM-GM,
logo
Breve justificativa por que a AM-GM é plausível aqui (intuição/método): para maximizar o produto dado um somatório fixo é razoável distribuir a soma igualmente entre as variáveis; formalmente isso pode ser obtido via Lagrange multipliers: maximizar
sujeito a
leva à condição
para todo
, daí todos os
iguais, o que dá a máxima do produto — e essa máxima é
quando a soma é
.
Passo 6
Voltando à nossa hipótese inicial (todas as raízes
), chegamos a
Isto contraria a informação dada de que
. Portanto a hipótese de que todas as raízes são
é falsa.
Passo 7
Conclui-se que existe pelo menos uma raiz
com
.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz maior que
.