Questão 3. Sabendo-se que o polinômio
p(x)=x^{100}-600 x^{99}+a_{98} x^{98}+a_{97} x^{97}+\ldots+a_{1} x+a_{0}
tem 100 raízes reais e que p(7)>1, mostre que \mathbf{p} possui pelo menos uma raiz maior que 7 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O polinômio é
p(x)=x^{100}-600x^{99}+a_{98}x^{98}+\cdots+a_{1}x+a_{0}.
  • O polinômio tem 100 raízes reais (contadas com multiplicidade). Denotar essas raízes por r_1,r_2,\dots,r_{100}.
  • Sabe-se que p(7)>1.
    A pergunta é: mostrar que p possui pelo menos uma raiz maior que 7.

Passo 2

Usar a fatoração pelo teorema fundamental da álgebra (como todas as raízes são reais):
p(x)=\prod_{i=1}^{100}(x-r_i).
Em particular,
p(7)=\prod_{i=1}^{100}(7-r_i).
Também pela relação entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète) para um polinômio moníco x^{100}+b_{99}x^{99}+\cdots, o coeficiente de x^{99} é -\sum r_i. No nosso caso o coeficiente é -600, logo
\sum_{i=1}^{100} r_i = 600.

Passo 3

Suponha, por contradição, que nenhuma raiz seja maior que 7. Então todos os r_i satisfazem r_i\le 7. Defina
s_i := 7-r_i \qquad\text{para }i=1,\dots,100.
Pelo pressuposto cada s_i é um número real não negativo ( s_i\ge0). Calculando a soma:
\sum_{i=1}^{100} s_i = \sum_{i=1}^{100}(7-r_i) = 700 - \sum_{i=1}^{100} r_i = 700-600 = 100.

Passo 4

Em termos dos s_i temos, usando a fatoração,
p(7)=\prod_{i=1}^{100}(7-r_i)=\prod_{i=1}^{100}s_i.
Pelo passo anterior os s_i são não negativos e satisfazem \sum_{i=1}^{100}s_i=100. Queremos ver se é possível que \prod_{i=1}^{100}s_i>1.

Passo 5

Aplicar a desigualdade da média aritmética e geométrica (AM-GM). Vou explicar o que é e por que vale aqui:
  • Enunciado da AM-GM (caso n=100): para números reais não negativos s_1,\dots,s_{100},
\left(\prod_{i=1}^{100}s_i\right)^{1/100} \le \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}s_i.
Isto significa que a média geométrica é menor ou igual à média aritmética. A igualdade ocorre exatamente quando todos os s_i são iguais.
  • Aplicação ao nosso caso: temos \sum_{i=1}^{100}s_i=100, então a média aritmética é \dfrac{100}{100}=1. Pela AM-GM,
\left(\prod_{i=1}^{100}s_i\right)^{1/100} \le 1,
logo
\prod_{i=1}^{100}s_i \le 1^{100}=1.
Breve justificativa por que a AM-GM é plausível aqui (intuição/método): para maximizar o produto dado um somatório fixo é razoável distribuir a soma igualmente entre as variáveis; formalmente isso pode ser obtido via Lagrange multipliers: maximizar \sum \ln s_i sujeito a \sum s_i=100 leva à condição 1/s_i=\lambda para todo i, daí todos os s_i iguais, o que dá a máxima do produto — e essa máxima é 1 quando a soma é 100.

Passo 6

Voltando à nossa hipótese inicial (todas as raízes \le7), chegamos a
p(7)=\prod_{i=1}^{100}s_i \le 1.
Isto contraria a informação dada de que p(7)>1. Portanto a hipótese de que todas as raízes são \le7 é falsa.

Passo 7

Conclui-se que existe pelo menos uma raiz r_i com r_i>7.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz maior que 7.

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