Questão 1: Seja F, definida por
F(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 1-x & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 5 & \text { se } & 1<x \leq 3 \\\\ 2 x+1 & \text { se } & x>3 \end{array}\right.
b) Determine o domínio e a imagem de F;

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede duas coisas: o domínio e a imagem de [F).
Informações fornecidas (as três partes da função):
F(x)=\begin{cases} 1-x & \text{se } x \leq 1,\\[4pt] 5 & \text{se } 1<x \leq 3,\\[4pt] 2x+1 & \text{se } x>3. \end{cases}
As perguntas que preciso responder:
  • Determinar o domínio de F\]. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por \(F).]

Passo 2

Definição rápida e prática (para quem vai fazer prova): o domínio é o conjunto de todos os x para os quais a função está definida; como F foi dada peça a peça, o domínio é a união dos intervalos em que cada peça está definida.
As peças estão definidas em:
  • x\leq1 (isto é, (-\infty,1]),
  • 1<x\leq3 (isto é, (1,3]),
  • x>3 (isto é, (3,\infty)).
Unindo esses intervalos, todos os reais aparecem: (-\infty,1]\cup(1,3]\cup(3,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Agora a imagem. Lembrete didático: a imagem (ou contra-domínio efetivo) é o conjunto de todos os valores y tais que existe pelo menos um x no domínio com F(x)=y. Para uma função por partes, é comum calcular a imagem de cada peça e depois tomar a união.
Vou analisar peça a peça.

Passo 4

Imagem da primeira peça: para x\leq1 vale F(x)=1-x.
Para estudar a imagem, resolvo y=1-x em função de y:
y=1-x \quad\Longrightarrow\quad x=1-y.
A condição x\leq1 se traduz em 1-y\leq1, ou seja
1-y\leq1 \quad\Longrightarrow\quad -y\leq0 \quad\Longrightarrow\quad y\geq0.
Além disso, à medida que x varia por (-\infty,1], 1-x assume todos os valores de 0 até +\infty (por exemplo, x=1 y=0; x\to-\infty y\to+\infty). Portanto a imagem desta peça é [0,\infty).

Passo 5

Imagem da segunda peça: para 1<x\leq3 vale F(x)=5, constante. Assim essa peça contribui com o valor 5 (conjunto \{5\}). Note que 5 já está contido em [0,\infty) obtido na peça anterior, mas é importante verificar: existe x no domínio que dá F(x)=5? Sim: por exemplo x=3 (porque 3\in(1,3]) tem F(3)=5.

Passo 6

Imagem da terceira peça: para x>3 vale F(x)=2x+1.
Para x>3 o menor valor de 2x+1 ocorre quando x se aproxima de 3 pela direita, dando 2\cdot3+1=7, mas como x>3 estritamente, os valores obtidos são maiores que 7. À medida que x\to\infty, 2x+1\to\infty. Portanto a imagem dessa peça é (7,\infty).

Passo 7

Juntando as imagens das três peças, a imagem total é
[0,\infty)\\ \cup\\ \{5\}\\ \cup\\ (7,\infty).
Mas \{5\}\subset[0,\infty) e (7,\infty)\subset[0,\infty) também (pois todos esses valores são \geq0). Além disso a primeira peça já produz todos os valores \geq0. Logo a união simplifica-se para
[0,\infty).
Verificações de borda úteis na prova (sempre bom citar): F(1)=1-1=0 (então 0 está na imagem); F(3)=5 (então 5 está na imagem); para qualquer y\geq0 basta escolher x=1-y (que satisfaz x\leq1) para obter F(x)=y, mostrando que todo y\geq0 é realmente atingido.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)

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