O que a letra (c) pede: analisar o comportamento de crescimento de F nos intervalos de definição (ou seja, em cada uma das três partes onde F está definida).]
Passo 2
Primeiro, uma curta aula sobre o que significa “crescimento” (monotonicidade), para a gente usar nas provas:
Dizemos que uma função f é (não estritamente) crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1 e x_2 no intervalo com x_1<x_2, vale
f(x_1)\le f(x_2).
Dizemos que f é estritamente crescente se sempre que x_1<x_2 temos
f(x_1)< f(x_2).
De modo análogo, f é (não estritamente) decrescente se x_1<x_2 implica
f(x_1)\ge f(x_2),
e é estritamente decrescente se x_1<x_2 implica
f(x_1)> f(x_2).
Uma função constante satisfaz f(x_1)=f(x_2) para quaisquer x_1,x_2, logo é ao mesmo tempo não decrescente e não crescente, mas não é estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Observação prática útil para provas: para funções lineares do tipo ax+b, o sinal de a determina monotonicidade:
se a>0 então ax+b é estritamente crescente;
se a<0 então é estritamente decrescente;
se a=0 é constante.
Passo 3
Análise no primeiro trecho: x\le 1 com F(x)=1-x.
Escolha quaisquer x_1,x_2 tais que x_1<x_2 e ambos satisfaçam x_1,x_2\le 1. Então
F(x_1)-F(x_2)=(1-x_1)-(1-x_2)=x_2-x_1.
Como x_2-x_1>0, temos F(x_1)-F(x_2)>0, isto é,
F(x_1)>F(x_2).
Portanto, em (-\infty,1] a função F é estritamente decrescente. (Também se vê direto pelo coeficiente de x: 1-x tem coeficiente -1<0.)
Passo 4
Análise no segundo trecho: 1<x\le 3 com F(x)=5.
Para quaisquer x_1,x_2 com 1<x_1<x_2\le 3 vale
F(x_1)=5=F(x_2).
Logo F(x_1)=F(x_2) sempre; portanto F é constante nesse intervalo. Em termos de monotonicidade: é simultaneamente não decrescente e não crescente, mas não é estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Passo 5
Análise no terceiro trecho: x>3 com F(x)=2x+1.
Escolha x_1,x_2 tais que 3<x_1<x_2. Então
F(x_2)-F(x_1)=(2x_2+1)-(2x_1+1)=2(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0, segue F(x_2)-F(x_1)>0, isto é,
F(x_2)>F(x_1).
Portanto, em (3,\infty) a função F é estritamente crescente. (Também se vê pelo coeficiente 2>0.)
Passo 6
Comentário final curto e motivador: assim, em cada trecho linear a monotonicidade é imediata pelo coeficiente angular; no trecho constante é óbvio pelo valor fixo. Se precisar, na prova basta mostrar a comparação para x_1<x_2 como fiz acima — isso é uma prova elementar e segura sem usar derivadas.
Resposta
Para x\le 1: F é estritamente decrescente.
Para 1<x\le 3: F é constante (nem estritamente crescente nem estritamente decrescente).
Para x>3: F é estritamente crescente.