Questão 3: Seja A a matriz:
A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)
(a) ( 20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^{-1}.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=\left(\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e o vetor B e pede duas coisas:
  • (a) Determinar, se existir, a inversa A^{-1} da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • (b) Determinar o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo que
B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • O vetor B é coluna em \mathbb{R}^3.
  • Para (a) precisamos verificar se A é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
  • Para (b) se A for invertível, o sistema tem solução única dada por X=A^{-1}B; caso contrário, pode ter nenhuma ou infinitas soluções (mas isso será decidido após (a)).]

Passo 2

Primeiro verificamos se A é invertível calculando o determinante \det(A). Explico rápido o método para 3\times3: uma forma prática é usar a expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus). A expansão pela primeira linha é:
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\[2pt]a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\[2pt]a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[2pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Aplicando isso à nossa A:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0,
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1.
Substituindo,
\det(A)=2\cdot1-1\cdot0+1\cdot(-1)=2-0-1=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível. Excelente notícia: existe A^{-1} e, como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (adjugado), sem necessidade de dividir por outro número.]

Passo 3

Vou explicar e calcular o adjugado \operatorname{adj}(A). O adjugado é a transposta da matriz dos cofatores. Para cada posição (i,j) definimos o menor M_{ij} como o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Depois \operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{\!T}.
Calculamos todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}:
  • Para (i,j)=(1,1): eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}, logo
M_{11}=1,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1.
  • Para (1,2): eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{12}=0,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-0=0.
  • Para (1,3): eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},
M_{13}=-1,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+(-1)=-1.
  • Para (2,1): eliminar linha 2 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix},
M_{21}=1,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1.
  • Para (2,2): eliminar linha 2 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{22}=2\cdot1-1\cdot1=1,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1.
  • Para (2,3): eliminar linha 2 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},
M_{23}=2\cdot0-1\cdot1=-1,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-(-1)=+1.
  • Para (3,1): eliminar linha 3 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{31}=0,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+0=0.
  • Para (3,2): eliminar linha 3 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{32}=1,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1.
  • Para (3,3): eliminar linha 3 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{33}=1,\qquad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1.
Assim a matriz dos cofatores é
\big(C_{ij}\big)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O adjugado é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Usando a relação geral para inversa de matriz quadrada:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Como \det(A)=1, temos simplesmente
A^{-1}=\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(Fica a dica: se \det(A) não fosse 1, dividiria cada entrada do adjugado por \det(A).)]

Passo 5

Breve verificação (uma boa prática): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade. Um produto rápido das linhas de A pelas colunas de A^{-1} retorna a matriz identidade I_3. Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa.

Passo 6

Agora resolvemos A X=B. Como A é invertível, a solução única é
X=A^{-1}B.
Calculemos o produto A^{-1}B componente a componente. Escrevendo A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}:
  • Primeira componente:
x_1=1\cdot(-5)+(-1)\cdot0+0\cdot3=-5.
  • Segunda componente:
x_2=0\cdot(-5)+1\cdot0+(-1)\cdot3=-3.
  • Terceira componente:
x_3=(-1)\cdot(-5)+1\cdot0+1\cdot3=5+0+3=8.
Logo
X=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 7

Confirmação final rápida: multiplicando A por esse X obtém-se
A X=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}=B,
portanto a solução está correta.]

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle X=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-3\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

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