(a) ( 20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^{-1}.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=\left(\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e o vetor B e pede duas coisas:
(a) Determinar, se existir, a inversa A^{-1} da matriz
(b) Determinar o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo que
B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 3\times3.
O vetor B é coluna em \mathbb{R}^3.
Para (a) precisamos verificar se A é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
Para (b) se A for invertível, o sistema tem solução única dada por X=A^{-1}B; caso contrário, pode ter nenhuma ou infinitas soluções (mas isso será decidido após (a)).]
Passo 2
Primeiro verificamos se A é invertível calculando o determinante \det(A). Explico rápido o método para 3\times3: uma forma prática é usar a expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus). A expansão pela primeira linha é:
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível. Excelente notícia: existe A^{-1} e, como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (adjugado), sem necessidade de dividir por outro número.]
Passo 3
Vou explicar e calcular o adjugado \operatorname{adj}(A). O adjugado é a transposta da matriz dos cofatores. Para cada posição (i,j) definimos o menor M_{ij} como o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Depois \operatorname{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{\!T}.
Calculamos todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}:
Para (i,j)=(1,1): eliminar linha 1 e coluna 1 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}, logo
M_{11}=1,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1.
Para (1,2): eliminar linha 1 e coluna 2 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
M_{12}=0,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-0=0.
Para (1,3): eliminar linha 1 e coluna 3 deixa \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},
(Fica a dica: se \det(A) não fosse 1, dividiria cada entrada do adjugado por \det(A).)]
Passo 5
Breve verificação (uma boa prática): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade. Um produto rápido das linhas de A pelas colunas de A^{-1} retorna a matriz identidade I_3. Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa.
Passo 6
Agora resolvemos A X=B. Como A é invertível, a solução única é
X=A^{-1}B.
Calculemos o produto A^{-1}B componente a componente. Escrevendo A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}: