Seja \Omega da região plana no 1^{0} quadrante delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1, \quad x^{2}-y^{2}=9, \quad x y=2, \quad x y=4
Calcule
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
OBS: se usar o teorema de mudança de coordenadas, justifique com detalhes porque o teorema é válido para a mudança escolhida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde \Omega é a região do primeiro quadrante (ou seja, x>0 e y>0) delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1,\qquad x^{2}-y^{2}=9,\qquad x y=2,\qquad x y=4.
As perguntas explícitas que temos de responder são:
Determinar a região \Omega em termos acessíveis para integração.
Calcular a integral \iint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
Se for usada mudança de variáveis, justificar em detalhe por que o teorema de mudança de coordenadas vale para a transformação escolhida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As duas curvas x^{2}-y^{2}=1 e x^{2}-y^{2}=9 são hipérboles que, no primeiro quadrante, correspondem a níveis diferentes da função x^{2}-y^{2}.
As curvas x y=2 e x y=4 são hipérbolas do tipo xy= constante; no primeiro quadrante são ramos com x>0,y>0.
Portanto pode-se descrever \Omega como o conjunto de pontos do primeiro quadrante que satisfazem
1\le x^{2}-y^{2}\le 9,\qquad 2\le x y\le 4.
Passo 2
Motivação e escolha da mudança de variável (não é preciso decorar, é intuição prática): as quatro curvas que limitam \Omega são exatamente níveis das duas funções u(x,y)=x^{2}-y^{2} e v(x,y)=x y. Isso sugere usar a transformação
u = x^{2}-y^{2},\qquad v = x y.
Definir
T:\\ (x,y)\mapsto(u,v)=(x^{2}-y^{2},\,x y).
No novo sistema os contornos ficam simplesmente u=1, u=9, v=2, v=4 — ou seja, um retângulo no plano (u,v). Agora vamos verificar que essa troca é legítima (C1, bijetora no domínio considerado e com jacobiano não nulo), calcular o jacobiano e aplicar o teorema de mudança de variáveis.
Passo 3
Calcular a matriz jacobiana de (u,v) em relação a (x,y) e seu determinante. As derivadas parciais são
Isto mostra que, enquanto x^{2}+y^{2}>0, o jacobiano é diferente de zero.]
Passo 4
Justificativa de que a transformação é invertível (no primeiro quadrante) e de que o teorema de mudança de variável vale.
Regularidade: u(x,y) e v(x,y) são funções polinomiais em x,y, portanto T é de classe C^{\infty} no primeiro quadrante.
Jacobiano não nulo: no primeiro quadrante temos x>0 e y>0, então x^{2}+y^{2}>0 e, pelo cálculo anterior, \det\!\big(\partial(u,v)/\partial(x,y)\big)=2(x^{2}+y^{2})>0. Assim o jacobiano é estritamente positivo em toda a região considerada; pelo Teorema da Função Inversa local, T é localmente difeomorfismo. Como veremos, T é mesmo globalmente injetora sobre a imagem relevante.
Inversão explícita para garantir bijetividade sobre o retângulo \{1\le u\le9,\\\ 2\le v\le4\}: a soma e diferença das quantidades permitem recuperar x^{2}+y^{2}. De fato
Para 1\le u\le 9 e 2\le v\le 4 as expressões dentro das raízes são estritamente positivas, então existe uma única escolha de x>0,y>0 para cada par (u,v) do retângulo. Assim T é bijetora entre \Omega e o retângulo
R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\\\ 2\le v\le 4\}.
Conclusão sobre validade do teorema: temos T de classe C^{1}, bijetora entre abertos/regionais relevantes (a região fechada \Omega está contida numa parcela onde T é diferenciável e inversível), e o jacobiano é contínuo e não nulo em \Omega. Portanto as hipóteses do teorema de mudança de variáveis estão satisfeitas e podemos substituir (x,y) por (u,v) na integral, usando o fator jacobiano apropriado.
Passo 5
Aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Da relação entre jacobianos temos