Questão 3:

Seja \Omega da região plana no 1^{0} quadrante delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1, \quad x^{2}-y^{2}=9, \quad x y=2, \quad x y=4
Calcule
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
OBS: se usar o teorema de mudança de coordenadas, justifique com detalhes porque o teorema é válido para a mudança escolhida.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde \Omega é a região do primeiro quadrante (ou seja, x>0 e y>0) delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1,\qquad x^{2}-y^{2}=9,\qquad x y=2,\qquad x y=4.
As perguntas explícitas que temos de responder são:
  • Determinar a região \Omega em termos acessíveis para integração.
  • Calcular a integral \iint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
  • Se for usada mudança de variáveis, justificar em detalhe por que o teorema de mudança de coordenadas vale para a transformação escolhida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As duas curvas x^{2}-y^{2}=1 e x^{2}-y^{2}=9 são hipérboles que, no primeiro quadrante, correspondem a níveis diferentes da função x^{2}-y^{2}.
  • As curvas x y=2 e x y=4 são hipérbolas do tipo xy= constante; no primeiro quadrante são ramos com x>0,y>0.
  • Portanto pode-se descrever \Omega como o conjunto de pontos do primeiro quadrante que satisfazem
1\le x^{2}-y^{2}\le 9,\qquad 2\le x y\le 4.

Passo 2

Motivação e escolha da mudança de variável (não é preciso decorar, é intuição prática): as quatro curvas que limitam \Omega são exatamente níveis das duas funções u(x,y)=x^{2}-y^{2} e v(x,y)=x y. Isso sugere usar a transformação
u = x^{2}-y^{2},\qquad v = x y.
Definir
T:\\ (x,y)\mapsto(u,v)=(x^{2}-y^{2},\,x y).
No novo sistema os contornos ficam simplesmente u=1, u=9, v=2, v=4 — ou seja, um retângulo no plano (u,v). Agora vamos verificar que essa troca é legítima (C1, bijetora no domínio considerado e com jacobiano não nulo), calcular o jacobiano e aplicar o teorema de mudança de variáveis.

Passo 3

Calcular a matriz jacobiana de (u,v) em relação a (x,y) e seu determinante. As derivadas parciais são
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y,
\frac{\partial v}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=x.
A matriz jacobiana \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é
\begin{pmatrix} 2x & -2y\\[4pt] y & x \end{pmatrix},
logo o determinante vale
\det\!\left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right) = (2x)(x)-(-2y)(y)=2x^{2}+2y^{2}=2\,(x^{2}+y^{2}).
Portanto
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=2\,(x^{2}+y^{2}).
Isto mostra que, enquanto x^{2}+y^{2}>0, o jacobiano é diferente de zero.]

Passo 4

Justificativa de que a transformação é invertível (no primeiro quadrante) e de que o teorema de mudança de variável vale.
  1. Regularidade: u(x,y) e v(x,y) são funções polinomiais em x,y, portanto T é de classe C^{\infty} no primeiro quadrante.
  2. Jacobiano não nulo: no primeiro quadrante temos x>0 e y>0, então x^{2}+y^{2}>0 e, pelo cálculo anterior, \det\!\big(\partial(u,v)/\partial(x,y)\big)=2(x^{2}+y^{2})>0. Assim o jacobiano é estritamente positivo em toda a região considerada; pelo Teorema da Função Inversa local, T é localmente difeomorfismo. Como veremos, T é mesmo globalmente injetora sobre a imagem relevante.
  3. Inversão explícita para garantir bijetividade sobre o retângulo \{1\le u\le9,\\\ 2\le v\le4\}: a soma e diferença das quantidades permitem recuperar x^{2}+y^{2}. De fato
(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}=u^{2}+(2v)^{2}=u^{2}+4v^{2},
portanto
x^{2}+y^{2}=\sqrt{u^{2}+4v^{2}}>0.
Com isto obtemos
x^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}=\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}+u}{2},
y^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})}{2}=\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}-u}{2}.
No primeiro quadrante escolhemos as raízes positivas
x=\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}+u}{2}},\qquad y=\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}-u}{2}}.
Para 1\le u\le 9 e 2\le v\le 4 as expressões dentro das raízes são estritamente positivas, então existe uma única escolha de x>0,y>0 para cada par (u,v) do retângulo. Assim T é bijetora entre \Omega e o retângulo
R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\\\ 2\le v\le 4\}.
  1. Conclusão sobre validade do teorema: temos T de classe C^{1}, bijetora entre abertos/regionais relevantes (a região fechada \Omega está contida numa parcela onde T é diferenciável e inversível), e o jacobiano é contínuo e não nulo em \Omega. Portanto as hipóteses do teorema de mudança de variáveis estão satisfeitas e podemos substituir (x,y) por (u,v) na integral, usando o fator jacobiano apropriado.

Passo 5

Aplicar a fórmula de mudança de variáveis. Da relação entre jacobianos temos
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=2\,(x^{2}+y^{2}),
logo
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| =\frac{1}{2\,(x^{2}+y^{2})}.
Assim
dx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv =\frac{1}{2\,(x^{2}+y^{2})}\,du\,dv.
No integrando aparece o fator (x^{2}+y^{2}), que cancela parcialmente com o jacobiano:
(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy =(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{1}{2\,(x^{2}+y^{2})}\,du\,dv =\frac{1}{2}\,du\,dv.
Portanto a integral sobre \Omega transforma-se numa integral simples sobre o retângulo R:
\iint_{\Omega}\!(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy =\iint_{R}\frac{1}{2}\,du\,dv.

Passo 6

Calcular a integral no retângulo R=\{1\le u\le 9,\\\ 2\le v\le 4\}. Como o integrando é constante \tfrac{1}{2},
\iint_{R}\frac{1}{2}\,du\,dv=\frac{1}{2}\cdot\text{(área de }R) =\frac{1}{2}\cdot(9-1)\cdot(4-2).á
Calculemos:
9-1=8,\qquad 4-2=2,\qquad 8\cdot 2=16,
logo
\frac{1}{2}\cdot 16=8.

Resposta

\,8

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