Questão 8:
Seja
a região delimitada pela curva plana parametrizada por
Determine a área de
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada e pede a área da região
delimitada por ela. Dados importantes que temos:
- A curva
é
- O objetivo é determinar a área de
.
Passo 2
Vamos usar uma fórmula clássica que transforma a área de uma região delimitada por uma curva fechada em uma integral ao longo da curva. A ideia (breve justificativa via Teorema de Green) é:
Explicando: na igualdade acima usa-se o Teorema de Green com
e
, pois então
, e a integral de linha de
equivale à integral dupla de
sobre
. Assim a área pode ser calculada por essa integral de linha.
Passo 3
Para uma curva parametrizada por
com
a integral de linha fica uma integral em
:
Aqui
e
são as componentes da parametrização, e
são as derivadas em relação a
.
Passo 4
No nosso caso identificamos
É útil notar que podemos escrever
com
Isso é uma forma “polar” da curva; veremos que isso simplifica muito a conta.
Passo 5
Calculemos
(vai aparecer ao derivar
). Pela regra da cadeia,
Agora derivamos
e
. Usando produto e derivada de
:
Passo 6
Formemos a combinação
e simplifiquemos passo a passo:
Primeiro, escrevendo explicitamente,
Primeiro, escrevendo explicitamente,
Subtraindo as duas expressões:
Os termos com
cancelam, sobrando
Portanto a expressão simplifica elegantemente para
.
Passo 7
Pela fórmula de área temos então
Agora expandimos o quadrado para calcular a integral.
Passo 8
Expandindo:
Usamos a identidade trigonométrica
com
, ou seja
. Assim
Somando os termos constantes:
portanto
Passo 9
Integramos termo a termo em
de
a
:
-
. -
porque tem média zero num período inteiro. -
pela mesma razão (coseno com período que divide ).
Portanto
Multiplicando por
obtemos a área: