Questão 8:

Seja \Omega \subseteq R^{2} a região delimitada pela curva plana parametrizada por
\sigma(t)=((2+\sin (4 t)) \cos t,(2+\sin (4 t)) \sin t), \quad t \in[0,2 \pi]
Determine a área de \Omega.
Resposta: 9 \pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada e pede a área da região \Omega delimitada por ela. Dados importantes que temos:
  • A curva \sigma é
\sigma(t)=\big((2+\sin(4t))\cos t,\; (2+\sin(4t))\sin t\big),\qquad t\in[0,2\pi].
  • O objetivo é determinar a área de \Omega.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula clássica que transforma a área de uma região delimitada por uma curva fechada em uma integral ao longo da curva. A ideia (breve justificativa via Teorema de Green) é:
\text{Área}(\Omega)=\iint_{\Omega}1\,dA=\frac{1}{2}\oint_{\partial\Omega} (x\,dy-y\,dx).Á
Explicando: na igualdade acima usa-se o Teorema de Green com P=-\dfrac{y}{2} e Q=\dfrac{x}{2}, pois então \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1, e a integral de linha de P\,dx+Q\,dy equivale à integral dupla de 1 sobre \Omega. Assim a área pode ser calculada por essa integral de linha.

Passo 3

Para uma curva parametrizada por t\mapsto(x(t),y(t)) com t\in[a,b] a integral de linha fica uma integral em t:
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\big(x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\big)\,dt.Á
Aqui x(t) e y(t) são as componentes da parametrização, e x'(t),y'(t) são as derivadas em relação a t.

Passo 4

No nosso caso identificamos
x(t)=(2+\sin(4t))\cos t,\qquad y(t)=(2+\sin(4t))\sin t.
É útil notar que podemos escrever x(t)=r(t)\cos t,\; y(t)=r(t)\sin t com
r(t)=2+\sin(4t).
Isso é uma forma “polar” da curva; veremos que isso simplifica muito a conta.

Passo 5

Calculemos r'(t) (vai aparecer ao derivar x,y). Pela regra da cadeia,
r'(t)=\frac{d}{dt}\big(2+\sin(4t)\big)=4\cos(4t).
Agora derivamos x(t) e y(t). Usando produto e derivada de \cos t,\sin t:
x'(t)=r'(t)\cos t - r(t)\sin t, \qquad y'(t)=r'(t)\sin t + r(t)\cos t.

Passo 6

Formemos a combinação x(t)y'(t)-y(t)x'(t) e simplifiquemos passo a passo:
Primeiro, escrevendo explicitamente,
x(t)y'(t)=\big(r\cos t\big)\big(r'\sin t + r\cos t\big)=r r'\cos t\sin t + r^{2}\cos^{2}t,
y(t)x'(t)=\big(r\sin t\big)\big(r'\cos t - r\sin t\big)=r r'\sin t\cos t - r^{2}\sin^{2}t.
Subtraindo as duas expressões:
x y' - y x' = \big(r r'\cos t\sin t + r^{2}\cos^{2}t\big) - \big(r r'\sin t\cos t - r^{2}\sin^{2}t\big).
Os termos com r r'\cos t\sin t cancelam, sobrando
x y' - y x' = r^{2}\cos^{2}t + r^{2}\sin^{2}t = r^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=r^{2}.
Portanto a expressão simplifica elegantemente para r(t)^{2}.

Passo 7

Pela fórmula de área temos então
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r(t)^{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\big(2+\sin(4t)\big)^{2}\,dt.Á
Agora expandimos o quadrado para calcular a integral.

Passo 8

Expandindo:
\big(2+\sin(4t)\big)^{2}=4+4\sin(4t)+\sin^{2}(4t).
Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}u=\dfrac{1-\cos(2u)}{2} com u=4t, ou seja \sin^{2}(4t)=\dfrac{1-\cos(8t)}{2}. Assim
\big(2+\sin(4t)\big)^{2}=4+4\sin(4t)+\frac{1-\cos(8t)}{2}.
Somando os termos constantes:
4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2},
portanto
\big(2+\sin(4t)\big)^{2}=\frac{9}{2}+4\sin(4t)-\frac{1}{2}\cos(8t).

Passo 9

Integramos termo a termo em t de 0 a 2\pi:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{9}{2}\,dt=\frac{9}{2}\cdot 2\pi=9\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}4\sin(4t)\,dt=0 porque \sin(4t) tem média zero num período inteiro.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}-\frac{1}{2}\cos(8t)\,dt=0 pela mesma razão (coseno com período que divide 2\pi).
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\big(2+\sin(4t)\big)^{2}\,dt=9\pi.
Multiplicando por \dfrac{1}{2} obtemos a área:
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\cdot 9\pi=\frac{9\pi}{2}.Á

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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