Questão 6. (Valor: 4,0 pontos) As entropias padrões de água sólida (gelo), água líquida e vapor são 37,
e
, respectivamente. Em um único gráfico, mostre como a energia de Gibbs de cada uma dessas fases varia com a temperatura. Considere a pressão constante igual a 1 atm .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados (entropias molares padrão a
, presumido a , mas aqui usaremos pontos de equilíbrio conhecidos): - Entropia do gelo:
. - Entropia da água líquida:
. - Entropia do vapor:
.
- Entropia do gelo:
- Condição: pressão constante
. - Pedido: em um único gráfico, mostrar como a energia de Gibbs de cada fase varia com a temperatura (ou seja, esboçar
para gelo, água líquida e vapor, e indicar regiões de estabilidade).
Observações claras (para uso na resolução):
- Os pontos de mudança de fase a
usuais são: ponto de fusão (0 °C) e ponto de ebulição (100 °C). Esses serão usados para localizar as interseções entre as curvas de .
Passo 2
Conceito central que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
- A definição termodinâmica útil aqui é a relação entre
e à pressão constante:
Isto significa: se a pressão é fixa, a derivada (inclinação) da curva
é
. Logo, em um gráfico
versus
, cada fase aparece (aproximando
constante) como uma reta com inclinação negativa; quanto maior
, mais inclinada (mais negativa) a reta.
- Em equilíbrio de fase (por exemplo, fusão ou ebulição) as energias livres das duas fases são iguais:
onde
é o calor latente e
a variação de entropia associada à transição. Usaremos isso para assegurar que as retas de
se cruzam nos
corretos.
Passo 3
Escolha prática para construir o gráfico (âncora e aproximação).
- Aproximação prática: tratamos
de cada fase como aproximadamente constante na faixa de temperatura considerada. Isso é aceitável para um esboço e para entender comportamento qualitativo e valores aproximados. - Escolho como referência (âncora) o ponto de fusão
. Vou definir arbitrariamente
ou seja, tomo o valor da energia de Gibbs comum no ponto de fusão como zero de referência. Isso facilita escrever fórmulas lineares e encontra automaticamente que as duas curvas se intersectam em
. Para o vapor, usarei a condição de equilíbrio na ebulição para ajustar sua posição.
Passo 4
Equações lineares para
— derivação e fórmula geral.
- Com
constante e com a escolha de referência acima, a integração de dá, para cada fase:
- Tomando
e para gelo e líquido, obtemos diretamente as expressões lineares para gelo e líquido:
Substituindo os valores de
:
Passo 5
Determinar a posição da curva do vapor usando o equilíbrio de ebulição.
- Primeiro calculo
no ponto de ebulição :
- Como na ebulição há equilíbrio líquido–vapor a
, temos
- Integrando
em torno de e usando esse valor como âncora, a expressão para o vapor é:
Substituindo números:
Passo 6
Cálculo dos calores latentes (para ligar com a física e verificar consistência).
- Variação de entropia na fusão:
Logo o calor de fusão aproximado:
- Variação de entropia na vaporização:
Logo o calor de vaporização aproximado:
Esses valores concordam qualitativamente com os calores latentes conhecidos (ordem de grandeza correta), mostrando que as escolhas de âncora e as entropias são consistentes.
Passo 7
Cálculo de alguns pontos numéricos para ajudar no esboço e interpretação (exemplos úteis na prova).
- Em
(abaixo do ponto de fusão):
Aqui
(gelo é mais estável).
- Em
(entre fusão e ebulição):
Aqui
(líquido é mais estável).
- Em
(acima da ebulição):
Aqui
(vapor é mais estável).
Esses pontos confirmam que as interseções ocorrem nas temperaturas de fusão e ebulição escolhidas e mostram claramente as regiões de estabilidade.
Passo 8
Como desenhar o gráfico (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
- Eixos: abscissa
(em K), ordenada (em J mol ). - Traçar três retas (aproximação linear):
- Reta do gelo com inclinação
passando por em . - Reta da água líquida com inclinação
passando por em . - Reta do vapor com inclinação
passando por em .
- Reta do gelo com inclinação
- Marcar os pontos de interseção:
- Gelo e líquido se cruzam em
(por construção). - Líquido e vapor se cruzam em
(por construção via equilíbrio).
- Gelo e líquido se cruzam em
- Interpretação visual: linhas com inclinações diferentes (vapor é a mais inclinada, porque tem maior entropia). À esquerda de
a curva do gelo fica mais baixa (estável); entre e a curva líquida é a menor; acima de a curva do vapor fica abaixo (vapor é estável).
Passo 9
Resumo físico e dicas para a prova (como responder rápido e o que comentar).
- Regra rápida: à pressão constante, a inclinação de
é . Então, sem calcular integrais, basta conhecer os para desenhar as retas. - Para posicionar as retas verticalmente (interceptos relativos) use as condições de equilíbrio (igualdade de
nos de transição) ou calcule os calores latentes via . - No esboço final, indique claramente:
- as equações lineares para cada fase,
- os pontos de interseção
e , - as regiões de estabilidade (gelo, água líquida, vapor).
Resposta
Interseções (condições de equilíbrio a
):
(gelo = líquido)
(líquido = vapor)
Calores latentes aproximados (consistência):