Nas questões de 3 a 5 responda o que se pede.
(20e) Um motor de combustão interna opera segundo um ciclo Otto ideal ar-padrão. O ar entra no cilindro a 100 kPa e 300 K . A razão de compressão do motor é \mathrm{r}=8,5. O calor fornecido ao ciclo (durante a combustão isocórica) é de 1400 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.
Considere ainda que:
  • O ciclo é modelado com ar-padrão frio.
  • Os valores de: c_{p}=1,005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e c_{v}=0,718 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.
Tomando como base essas informações, determine:
Item Esc. Assertiva
3.1 2,5 A temperatura ao final do processo de compressão isentrópica em K.
3.2 2,5 A pressão ao final do processo de compressão em kPa.
3.3 2,5 A temperatura no final do processo de adição de calor em K.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • Pressão inicial: P_1=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura inicial: T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • Razão de compressão: r=\dfrac{V_1}{V_2}=8{,}5.
  • Calor fornecido durante a combustão (processo isocórico): q_{in}=1400\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Capacidades térmicas do ar-padrão frio: c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_v=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
O que a questão pede:
  • 3.1 A temperatura ao final do processo de compressão isentrópica (isto é, T_2) em \mathrm{K}.
  • 3.2 A pressão ao final do processo de compressão (isto é, P_2) em \mathrm{kPa}.
  • 3.3 A temperatura no final do processo de adição de calor (isochorico), isto é T_3, em \mathrm{K}.

Passo 2

Calcular a razão adiabática (índice de Poisson) \gamma. Explicando: \gamma é a razão entre capacidades térmicas a pressão e volume constantes, definida por \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}. Aqui c_p e c_v são por unidade de massa (kJ/kg·K), logo a divisão é adimensional.
Cálculo:
\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{1{,}005}{0{,}718}=1{,}39972\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Temperatura após compressão isentrópica ( 1\to2). Teoria rápida e a fórmula usada:
  • Para um gás ideal em processo isentrópico reversível vale \;T V^{\gamma-1}=\text{constante}.)
  • Como r=\dfrac{V_1}{V_2}, tem-se
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=r^{\,\gamma-1}.
Aqui T_1 e T_2 são temperaturas absolutas nos estados 1 e 2 (em K). Portanto
T_2 = T_1\, r^{\,\gamma-1}.

Passo 4

Calcular numericamente r^{\,\gamma-1} e T_2. Mostrando passo a passo:
\gamma-1=1{,}39972-1=0{,}39972.
r^{\,\gamma-1}=8{,}5^{\,0{,}39972}\approx 2{,}35266.
T_2 = 300\\ \mathrm{K}\times 2{,}35266 \approx 705{,}8\\ \mathrm{K}.
Interpretação curta: a compressão isentrópica aumenta a temperatura porque a energia interna é aumentada pela compressão sem troca de calor.

Passo 5

Pressão após compressão isentrópica ( P_2). Teoria e fórmula:
  • Para um processo isentrópico de gás ideal também vale P V^{\gamma}= constante, ou usando a razão r,
\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}=r^{\,\gamma}.
Logo
P_2 = P_1\, r^{\,\gamma}.

Passo 6

Cálculo numérico de P_2. Podemos usar r^{\,\gamma}=r^{\,\gamma-1}\cdot r:
r^{\,\gamma}=2{,}35266\times 8{,}5\approx 19{,}9976.
P_2 = 100\\ \mathrm{kPa}\times 19{,}9976 \approx 1999{,}8\\ \mathrm{kPa}.
Comentário prático: o valor é praticamente 2{,}00\times10^3\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Temperatura após adição de calor isocórica ( 2\to3). Teoria e fórmula:
  • Em processo isocórico (volume constante) o calor adicionado por unidade de massa relaciona-se à variação de temperatura por
q_{in}=c_v\,(T_3-T_2),
onde q_{in} está em \mathrm{kJ/kg}, c_v em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T em K. Assim
T_3 = T_2 + \frac{q_{in}}{c_v}.

Passo 8

Cálculo numérico de T_3:
\frac{q_{in}}{c_v}=\frac{1400}{0{,}718}\approx 1950{,}97\\ \mathrm{K}.
T_3 = 705{,}8\\ \mathrm{K} + 1950{,}97\\ \mathrm{K} \approx 2656{,}8\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a combustão (adição de calor a volume constante) eleva muito a temperatura do ar no cilindro.

Passo 9

Verificação rápida de unidades e consistência:
  • Todas as fórmulas usadas são as clássicas do ciclo Otto ideal com ar como gás ideal.
  • Unidades estavam consistentes (kJ/kg para calores e kJ/kg·K para c_v), então a divisão q_{in}/c_v deu temperatura em K.

Resposta

T_2 \approx 705{,}8\\ \mathrm{K}
P_2 \approx 1999{,}8\\ \mathrm{kPa}
T_3 \approx 2656{,}8\\ \mathrm{K}

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