Questões sobre funções de duas variáveis.
Identifique a superfície z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}. Determine o domínio de f, esboce o mapa de contorno e o gráfico da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a função z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e pede três coisas: identificar a superfície que essa expressão descreve; determinar o domínio de f (os pares (x,y) onde a função está definida); e esboçar o mapa de contorno (curvas de nível) e o gráfico da superfície.
Informações fornecidas: a expressão explícita de z em função de x e y, e o fato implícito de que o símbolo \sqrt{\\ } significa a raiz quadrada principal (não negativa).

Passo 2

Entendendo a restrição do radical (domínio). Sempre que temos uma expressão do tipo z=\sqrt{\text{radicando}}, o radicando deve ser maior ou igual a zero para que z seja um número real. Aqui o radicando é 9-x^{2}-y^{2}. Então devemos impor:
9-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Isso significa que os pontos (x,y) aceitáveis satisfazem
x^{2}+y^{2}\le 9.
Expliquei: x^{2}+y^{2}\le 9 é a desigualdade de um disco centrado na origem com raio 3. Inclui a fronteira (onde x^{2}+y^{2}=9) porque ali o radicando é zero e \sqrt{0}=0 é permitido.

Passo 3

Escrevendo a superfície de forma equivalente. Se elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que z\ge 0 porque é uma raiz), obtemos
z^{2}=9-x^{2}-y^{2}.
Rearranjando:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Isso é a equação de uma esfera de centro (0,0,0) e raio 3. Como inicialmente tínhamos z=\sqrt{\cdot}, estamos tomando apenas a parte com z\ge 0. Portanto a superfície dada é exatamente a metade superior da esfera — ou seja, o hemisfério superior de raio 3.

Passo 4

Interpretação geométrica e exemplos numéricos para fixar. Pedaços fáceis para visualizar:
  • No ponto (0,0) do plano xy temos z=\sqrt{9}=3, ou seja, o ponto mais alto (0,0,3).
  • Na circunferência da fronteira do domínio, x^{2}+y^{2}=9, temos z=0, ou seja, a borda do disco no plano z=0.
  • Para um ponto intermédio, por exemplo (x,y)=(2,1) (verifique 2^{2}+1^{2}=5\le9), z=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2. Isso confirma a curvatura decrescendo do centro para a borda.

Passo 5

Mapa de contorno (curvas de nível). As curvas de nível são conjuntos de pontos (x,y) onde z tem um valor fixo c. Pegamos z=c com c\ge 0 (pois z não pode ser negativo). Da equação:
c=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}
eleva-se ao quadrado:
c^{2}=9-x^{2}-y^{2}
ou
x^{2}+y^{2}=9-c^{2}.
Portanto, para cada valor fixo c com 0\le c\le 3 a curva de nível é uma circunferência centrada na origem de raio \sqrt{9-c^{2}}. Exemplos concretos:
\begin{aligned} c=0 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=9 \quad\text{(circunferência de raio }3\text{)},\\\ c=1 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8 \quad\text{(raio }\sqrt{8}\text{)},\\\ c=2 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=5 \quad\text{(raio }\sqrt{5}\text{)},\\\ c=3 &\Rightarrow x^{2}+y^{2}=0 \quad\text{(ponto na origem).} \end{aligned}ê
Conclusão didática: o mapa de contorno são círculos concêntricos; quanto maior z, menor o raio do círculo; em z=3 o “círculo” reduz-se ao ponto.

Passo 6

Como esboçar o mapa de contorno na prática (passo a passo simples):
  1. Desenhe o plano xy com origem (0,0).
  2. Marque a circunferência de raio 3 (essa é a curva de nível z=0).
  3. Dentro dela trace círculos concêntricos de raios \sqrt{5},\sqrt{8}, etc., correspondendo a z=2,1, etc. Etiquete cada círculo com o valor de z.
    Dica: os círculos mais internos correspondem a alturas maiores; o ponto central (origem) é a altura máxima z=3.

Passo 7

Como esboçar o gráfico 3D da superfície (hemisfério) de forma prática:
  • Comece desenhando a circunferência base no plano z=0 de raio 3.
  • Marque o ponto alto (0,0,3).
  • Desenhe linhas suaves que ligam a circunferência da base ao ponto alto, formando uma cúpula (meio globo).
  • Uma maneira rigorosa: pegar seções em planos que passam pelo eixo z (por exemplo planos y=0 ou x=0): nessas seções a curva é um semicírculo de equação x^{2}+z^{2}=9 (com z\ge0). Então desenhe alguns desses semicírculos para várias direções e gere a superfície por revolução.
    Também se quiser uma parametrização útil para plotar:
\begin{aligned} x&=3\sin\varphi\cos\theta,\\\ y&=3\sin\varphi\sin\theta,\\\ z&=3\cos\varphi, \end{aligned}
com 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2} e 0\le\theta<2\pi. Aqui \varphi é o ângulo polar (medido desde o eixo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 8

Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
  • Domínio vem do radicando não negativo.
  • Elevar ao quadrado transforma a função em equação de esfera; tomar a raiz principal restringe a z\ge 0.
  • Curvas de nível surgem ao fixar z=c e são círculos centrados na origem.
  • Gráfico é o hemisfério superior de raio 3.

Resposta

Superfície: hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com z\ge 0.
Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
Mapa de contorno: curvas de nível z=c são círculos x^{2}+y^{2}=9-c^{2} para 0\le c\le 3 (círculos concêntricos de raios \sqrt{9-c^{2}}).
Gráfico: cúpula hemisférica com vértice em (0,0,3) e base no plano z=0 correspondente ao círculo de raio 3.

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