Questões sobre funções de duas variáveis.
Identifique a superfície
. Determine o domínio de
, esboce o mapa de contorno e o gráfico da superfície.
Identifique a superfície
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: identificar a superfície que essa expressão descreve; determinar o domínio de
(os pares
onde a função está definida); e esboçar o mapa de contorno (curvas de nível) e o gráfico da superfície.
Informações fornecidas: a expressão explícita de em função de
e
, e o fato implícito de que o símbolo
significa a raiz quadrada principal (não negativa).
Informações fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
Entendendo a restrição do radical (domínio). Sempre que temos uma expressão do tipo
, o radicando deve ser maior ou igual a zero para que
seja um número real. Aqui o radicando é
. Então devemos impor:
Isso significa que os pontos
aceitáveis satisfazem
Expliquei:
é a desigualdade de um disco centrado na origem com raio
. Inclui a fronteira (onde
) porque ali o radicando é zero e
é permitido.
Passo 3
Escrevendo a superfície de forma equivalente. Se elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que
porque é uma raiz), obtemos
Rearranjando:
Isso é a equação de uma esfera de centro
e raio
. Como inicialmente tínhamos
, estamos tomando apenas a parte com
. Portanto a superfície dada é exatamente a metade superior da esfera — ou seja, o hemisfério superior de raio
.
Passo 4
Interpretação geométrica e exemplos numéricos para fixar. Pedaços fáceis para visualizar:
- No ponto
do plano temos , ou seja, o ponto mais alto . - Na circunferência da fronteira do domínio,
, temos , ou seja, a borda do disco no plano . - Para um ponto intermédio, por exemplo
(verifique ), . Isso confirma a curvatura decrescendo do centro para a borda.
Passo 5
Mapa de contorno (curvas de nível). As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde
tem um valor fixo
. Pegamos
com
(pois
não pode ser negativo). Da equação:
eleva-se ao quadrado:
ou
Portanto, para cada valor fixo
com
a curva de nível é uma circunferência centrada na origem de raio
. Exemplos concretos:
Conclusão didática: o mapa de contorno são círculos concêntricos; quanto maior
, menor o raio do círculo; em
o “círculo” reduz-se ao ponto.
Passo 6
Como esboçar o mapa de contorno na prática (passo a passo simples):
- Desenhe o plano
com origem . - Marque a circunferência de raio
(essa é a curva de nível ). - Dentro dela trace círculos concêntricos de raios
, etc., correspondendo a , etc. Etiquete cada círculo com o valor de .
Dica: os círculos mais internos correspondem a alturas maiores; o ponto central (origem) é a altura máxima.
Passo 7
Como esboçar o gráfico 3D da superfície (hemisfério) de forma prática:
- Comece desenhando a circunferência base no plano
de raio . - Marque o ponto alto
. - Desenhe linhas suaves que ligam a circunferência da base ao ponto alto, formando uma cúpula (meio globo).
- Uma maneira rigorosa: pegar seções em planos que passam pelo eixo
(por exemplo planos ou ): nessas seções a curva é um semicírculo de equação (com ). Então desenhe alguns desses semicírculos para várias direções e gere a superfície por revolução.
Também se quiser uma parametrização útil para plotar:
com
e
. Aqui
é o ângulo polar (medido desde o eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 8
Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
- Domínio vem do radicando não negativo.
- Elevar ao quadrado transforma a função em equação de esfera; tomar a raiz principal restringe a
. - Curvas de nível surgem ao fixar
e são círculos centrados na origem. - Gráfico é o hemisfério superior de raio
.
Resposta
Superfície: hemisfério superior da esfera
com
.
Domínio: .
Mapa de contorno: curvas de nível são círculos
para
(círculos concêntricos de raios
).
Gráfico: cúpula hemisférica com vértice em e base no plano
correspondente ao círculo de raio
.
Domínio:
Mapa de contorno: curvas de nível
Gráfico: cúpula hemisférica com vértice em