Questões sobre funções de duas variáveis.
Identifique a superfície
. Descreva o domínio de
, esboce o mapa de contorno e o gráfico da superfície.
Identifique a superfície
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: identificar a superfície representada por essa equação, descrever o domínio de
(os pares
em que
está definido), e esboçar (descrever) o mapa de contorno e o gráfico da superfície. As informações importantes fornecidas são apenas a fórmula acima; não há restrições extras no enunciado.
Passo 2
Vou começar analisando o domínio da função. A função usa uma raiz quadrada, então precisamos que o argumento seja maior ou igual a zero. O argumento é
. Note que para qualquer
temos
e
, então
sempre. Logo o argumento da raiz é sempre não negativo e a raiz está bem definida para todo par
. Conclusão:
Passo 3
Para entender a forma geométrica da superfície, é útil eliminar a raiz e trabalhar com
Esta é a equação de uma cônica em três dimensões do tipo “cone” centrado na origem. Se permitíssemos
tanto positivo quanto negativo, a equação
representa um cone duplo com vértice na origem (duas nappes, uma para
e outra para
). Como a nossa função é
, estamos tomando apenas a raiz não negativa, isto é, estamos vendo apenas a nappe superior do cone. Portanto, geometricamente:
Passo 4
Agora vamos estudar as curvas de nível (mapa de contorno). Para um valor fixo de
com
, a curva de nível é dada por
Dividindo ambos os lados por
(quando
) obtemos a forma padrão da elipse:
Isto mostra que as curvas de nível são elipses centradas na origem, com semi-eixo na direção
igual a
e semi-eixo na direção
igual a
Para
a curva de nível é apenas o ponto
. Assim o mapa de contorno é um conjunto de elipses concêntricas, cada uma obtida para um
maior que o anterior.
Passo 5
Vou dar exemplos numéricos simples para você desenhar rapidamente as elipses no mapa de contorno:
Esses três níveis dão a ideia: elipses com a mesma orientação (eixo maior na direção
), crescendo linearmente com
.
Passo 6
Parametrização das curvas de nível e da superfície — isso ajuda muito a esboçar. Uma parametrização conveniente das elipses para um nível
é
Para parametrizar a superfície inteira (nappe superior) podemos usar
e
como:
Verifique substituindo:
.
Passo 7
Cortes por planos verticais mostram claramente a geometria cônica. Tome uma reta no plano
com equação
. Na interseção com a superfície temos
Isto é uma função linear em
, ou seja, em qualquer plano vertical passando pela origem (qualquer direção no plano
) a interseção é uma “V” (duas retas) passando pela origem — característica típica de um cone. Exemplos particulares:
Passo 8
Derivadas parciais e diferenciabilidade (comentário útil para prova): para
podemos derivar
e obter
Essas derivadas existem e são finitas sempre que
. No ponto
a função não é diferenciável (a inclinação depende da direção do corte), o que corresponde ao vértice afiado do cone.
Passo 9
Como esboçar rapidamente no papel para a prova (passo a passo prático):
- Marque o vértice na origem
. - Desenhe no plano
algumas elipses concêntricas usando os exemplos (elipses com semi-eixo em igual a e em igual a ). - Para cada elipse de nível
desenhe uma “correspondente” horizontal no eixo em altura — visualmente, imagine cada elipse colada na altura . - Trace linhas geradoras do vértice para as elipses (essas linhas são retas que saem da origem e tocam cada elipse em uma direção angular fixa). Isso vai dar a forma do cone elíptico abrindo para cima.
- Lembre-se: não há parte do cone abaixo do plano
porque tomamos a raiz positiva.
Resposta
Superfície: nappe superior de um cone elíptico dado por
(apenas
).
Domínio: .
Mapa de contorno e gráfico: curvas de nível para
(elipses centradas na origem com semi-eixos
e
); o gráfico é um cone elíptico com vértice na origem, nappe superior (abertura linear), não diferenciável em
.
Domínio:
Mapa de contorno e gráfico: curvas de nível