Questões sobre funções de duas variáveis.
Identifique a superfície z=\sqrt{4 x^{2}+y^{2}}. Descreva o domínio de f, esboce o mapa de contorno e o gráfico da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\sqrt{4x^{2}+y^{2}}
e pede três coisas: identificar a superfície representada por essa equação, descrever o domínio de f (os pares (x,y) em que f está definido), e esboçar (descrever) o mapa de contorno e o gráfico da superfície. As informações importantes fornecidas são apenas a fórmula acima; não há restrições extras no enunciado.

Passo 2

Vou começar analisando o domínio da função. A função usa uma raiz quadrada, então precisamos que o argumento seja maior ou igual a zero. O argumento é 4x^{2}+y^{2}. Note que para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos 4x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0, então
4x^{2}+y^{2}\ge 0
sempre. Logo o argumento da raiz é sempre não negativo e a raiz está bem definida para todo par (x,y). Conclusão:
\text{Domínio de }f=\mathbb{R}^2.í

Passo 3

Para entender a forma geométrica da superfície, é útil eliminar a raiz e trabalhar com
z^{2}=4x^{2}+y^{2}.
Esta é a equação de uma cônica em três dimensões do tipo “cone” centrado na origem. Se permitíssemos z tanto positivo quanto negativo, a equação \,z^{2}=4x^{2}+y^{2}\, representa um cone duplo com vértice na origem (duas nappes, uma para z\ge0 e outra para z\le0). Como a nossa função é z=\sqrt{4x^{2}+y^{2}}, estamos tomando apenas a raiz não negativa, isto é, estamos vendo apenas a nappe superior do cone. Portanto, geometricamente:
\text{a superfície é a nappe superior de um cone elíptico com vértice na origem.}íéíé

Passo 4

Agora vamos estudar as curvas de nível (mapa de contorno). Para um valor fixo de z=c com c\ge 0, a curva de nível é dada por
4x^{2}+y^{2}=c^{2}.
Dividindo ambos os lados por c^{2} (quando c>0) obtemos a forma padrão da elipse:
\frac{x^{2}}{c^{2}/4}+\frac{y^{2}}{c^{2}}=1.
Isto mostra que as curvas de nível são elipses centradas na origem, com semi-eixo na direção x igual a
a_x=\frac{c}{2}
e semi-eixo na direção y igual a
a_y=c.
Para c=0 a curva de nível é apenas o ponto (0,0). Assim o mapa de contorno é um conjunto de elipses concêntricas, cada uma obtida para um c maior que o anterior.

Passo 5

Vou dar exemplos numéricos simples para você desenhar rapidamente as elipses no mapa de contorno:
\begin{aligned} c=1 &:\quad 4x^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x\in[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}],\; y\in[-1,1],\\\ c=2 &:\quad 4x^{2}+y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x\in[-1,1],\; y\in[-2,2],\\\ c=3 &:\quad 4x^{2}+y^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x\in[-1{,}5,1{,}5],\; y\in[-3,3]. \end{aligned}
Esses três níveis dão a ideia: elipses com a mesma orientação (eixo maior na direção y), crescendo linearmente com c.

Passo 6

Parametrização das curvas de nível e da superfície — isso ajuda muito a esboçar. Uma parametrização conveniente das elipses para um nível c é
x=\frac{c}{2}\cos\theta,\qquad y=c\sin\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Para parametrizar a superfície inteira (nappe superior) podemos usar r\ge0 e \theta como:
\begin{aligned} z&=r,\\\ x&=\frac{r}{2}\cos\theta,\\\ y&=r\sin\theta, \end{aligned} \qquad r\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi).
Verifique substituindo: 4x^{2}+y^{2}=4\frac{r^{2}}{4}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2} = z^{2}.

Passo 7

Cortes por planos verticais mostram claramente a geometria cônica. Tome uma reta no plano xy com equação y=kx. Na interseção com a superfície temos
z=\sqrt{4x^{2}+k^{2}x^{2}}=|x|\sqrt{4+k^{2}}.
Isto é uma função linear em |x|, ou seja, em qualquer plano vertical passando pela origem (qualquer direção no plano xy) a interseção é uma “V” (duas retas) passando pela origem — característica típica de um cone. Exemplos particulares:
\text{para }y=0:\; z=2|x|\quad(\text{V mais íngreme}),í
\text{para }x=0:\; z=|y|\quad(\text{V menos íngreme}).í

Passo 8

Derivadas parciais e diferenciabilidade (comentário útil para prova): para (x,y)\neq(0,0) podemos derivar z=(4x^{2}+y^{2})^{1/2} e obter
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}}=\frac{4x}{z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{z}.
Essas derivadas existem e são finitas sempre que z>0. No ponto (0,0) a função não é diferenciável (a inclinação depende da direção do corte), o que corresponde ao vértice afiado do cone.

Passo 9

Como esboçar rapidamente no papel para a prova (passo a passo prático):
  1. Marque o vértice na origem (0,0,0).
  2. Desenhe no plano xy algumas elipses concêntricas usando os exemplos c=1,2,3 (elipses com semi-eixo em x igual a c/2 e em y igual a c).
  3. Para cada elipse de nível c desenhe uma “correspondente” horizontal no eixo z em altura z=c — visualmente, imagine cada elipse colada na altura z=c.
  4. Trace linhas geradoras do vértice para as elipses (essas linhas são retas que saem da origem e tocam cada elipse em uma direção angular fixa). Isso vai dar a forma do cone elíptico abrindo para cima.
  5. Lembre-se: não há parte do cone abaixo do plano z=0 porque tomamos a raiz positiva.

Resposta

Superfície: nappe superior de um cone elíptico dado por z^{2}=4x^{2}+y^{2} (apenas z\ge 0).
Domínio: \mathbb{R}^2.
Mapa de contorno e gráfico: curvas de nível \{(x,y):4x^{2}+y^{2}=c^{2}\} para c\ge0 (elipses centradas na origem com semi-eixos a_x=c/2 e a_y=c); o gráfico é um cone elíptico com vértice na origem, nappe superior (abertura linear), não diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados