Um rapaz se sustenta com os lucros das apostas de um jogo que ele realiza: ele esconde uma bolinha embaixo de um pote (dentre três potes iguais), então troca com rapidez as posições dos potes e pergunta em qual pote está a bola. Para obter um lucro maior, ele “vende” uma informação: ele mostra o conteúdo de um dos potes em troca de o apostador dobrar a sua aposta. Ele não levanta o pote que tem a bolinha nem o pote que o apostador escolheu inicialmente. Pergunta-se: dobrando a aposta e vendo o pote que o rapaz levantou, vale a pena mudar a escolha inicial? (Dica: Solução parecida com o problema de Monty Hall)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no raciocínio.
- Há três potes idênticos e uma bolinha escondida sob exatamente um deles.
- O apostador escolhe inicialmente um pote (uma escolha entre três).
- O rapaz (quem organiza) NÃO levanta o pote que contém a bolinha e NÃO levanta o pote escolhido pelo apostador. Ou seja, ele levanta um dos dois potes não escolhidos e esse pote mostrado está vazio.
- Para ver o conteúdo desse pote mostrado, o apostador tem de dobrar a sua aposta. Ou seja, a informação só vem mediante pagar (dobrar) a aposta.
- Pergunta que o enunciado faz: depois de dobrar a aposta e ver o pote que o rapaz levantou (que está vazio), vale a pena mudar a escolha inicial (trocar para o outro pote fechado) ou é melhor ficar na escolha inicial?
Informações relevantes listadas (retiradas do enunciado):
- Probabilidade inicial de a bolinha estar em qualquer pote escolhido aleatoriamente: todas iguais (cada pote com probabilidade
). - O pote mostrado pelo rapaz é sempre vazio e não é nem o escolhido pelo apostador nem o que contém a bolinha.
O próximo passo é começar a analisar as probabilidades passo a passo.
Passo 2
Explicando os conceitos básicos que vamos usar (muito didático):
-
Probabilidade inicial: quando se escolhe um dos três potes ao acaso, a chance de ter escolhido o pote com a bolinha é
. Consequentemente, a chance de a bolinha estar em um dos outros dois potes juntos é . - Em termos simples: “minha escolha inicial tem probabilidade
de ser correta e de ser errada.”
- Em termos simples: “minha escolha inicial tem probabilidade
-
O papel do rapaz que mostra um pote vazio: ele não escolhe aleatoriamente qualquer pote; ele tem a informação de onde está a bolinha e evita mostrá-la. Isso cria dependência entre o pote mostrado e onde está a bolinha — ou seja, a ação do rapaz elimina uma possibilidade sem alterar as probabilidades condicionais corretamente calculadas.
-
Estratégia a comparar: ficar com a escolha inicial (não trocar) ou trocar para o outro pote fechado após ver um pote vazio. Precisamos calcular as probabilidades de ganhar em cada estratégia, condicionadas ao fato de o rapaz ter mostrado um pote vazio que não foi o escolhido.
Passo 3
Análise por casos (o jeito mais direto e intuitivo, muito usado para o problema de Monty Hall). Vamos listar as possibilidades antes de qualquer revelação:
-
Caso A: a escolha inicial está correta (a bolinha está no pote escolhido). Probabilidade deste caso:
. - Se isso acontecer, quando o rapaz for mostrar um pote que não é o escolhido nem o que tem a bolinha, ele tem duas opções de potes para mostrar? Na verdade, se a sua escolha já tem a bolinha, os outros dois potes estão vazios; o rapaz mostra um desses vazios. Depois da revelação, se o apostador TROCAR, ele perde (porque a bolinha estava na escolha inicial). Portanto, neste caso trocar é ruim.
-
Caso B: a escolha inicial está errada (a bolinha está em um dos dois outros potes). Probabilidade deste caso:
. - Se isso acontecer, o rapaz não pode mostrar o pote com a bolinha, então ele necessariamente mostra o outro pote vazio (entre os dois não escolhidos). Dessa forma, após a divulgação, o único pote fechado que resta (diferente da escolha inicial) contém a bolinha. Neste caso, se o apostador TROCAR, ele ganha. Portanto, neste caso trocar é bom.
Resumo dos dois casos:
- Se a escolha inicial estava certa (probabilidade
), trocar faz perder. - Se a escolha inicial estava errada (probabilidade
), trocar faz ganhar.
Passo 4
Convertendo o raciocínio do passo anterior em probabilidades condicionais finais:
-
Probabilidade de ganhar se o apostador mantiver a escolha inicial depois da revelação = probabilidade de que a escolha inicial já estava correta =
. -
Probabilidade de ganhar se o apostador trocar para o outro pote fechado depois da revelação = probabilidade de que a escolha inicial estava errada =
.
Portanto, trocar dá chance de ganhar
enquanto ficar dá chance de ganhar
.
Isso é exatamente o mesmo resultado clássico do problema de Monty Hall. A ação do rapaz ao mostrar um pote vazio não “retribui” a probabilidade; ela concentra a probabilidade
dos dois potes não escolhidos em único pote fechado remanescente quando um deles é aberto como vazio.
Passo 5
Uma explicação alternativa (um pouco mais formal, usando noções de probabilidade condicional / Bayes, para fixar a intuição):
Defina os eventos:
-
: a bolinha está no pote inicialmente escolhido. Então . -
: o rapaz mostra um pote vazio (sempre o que ele faz). Queremos .
Como o rapaz escolhe o pote a mostrar de forma a nunca mostrar a bolinha, a probabilidade condicional de a bolinha estar no outro pote fechado (o que resta) dado que ele mostrou um pote vazio acaba sendo
. Se necessário, pode-se escrever com Bayes, mas o cálculo por casos (Passo 3) é mais direto e já rigoroso aqui.
Passo 6
Agora consideremos a parte monetária (o que significa “vale a pena” em termos de aposta dobrada). A observação importante é:
- O fato de você ter de dobrar a aposta para ver o pote mostrado altera o montante em jogo, mas NÃO altera as probabilidades condicionais que já calculamos. Dobrar a aposta multiplica o ganho/ perda por um fator
, tanto para a estratégia “ficar” quanto para a estratégia “trocar” (já que a aposta foi dobrada independentemente de qual decisão tomar depois). Logo, a escolha ótima em termos de probabilidade continua a ser trocar.
Exemplo numérico simples para ficar mais claro (assumindo que, ao ganhar, o apostador recebe exatamente o valor apostado como lucro — só para exemplificar o cálculo do valor esperado):
- Suponha que, após dobrar, a aposta seja
(unidades monetárias). - Se ficar: probabilidade de ganhar
, então valor esperado - Se trocar: probabilidade de ganhar
, então valor esperado
Resultado: trocar dá valor esperado positivo (melhor), ficar dá valor esperado negativo (pior). Mesmo que a regra de pagamento seja diferente, o raciocínio relativo permanece: trocar tem o dobro da probabilidade de ganhar que ficar, então trocar maximiza a expectativa.
Passo 7
Conclusão intuitiva (resumindo e motivando para prova):
- Antes da revelação, a sua escolha tinha probabilidade
de estar correta. - Quando o rapaz mostra um pote vazio (não o seu e não o que tem a bolinha), ele está essencialmente transferindo a probabilidade total
de “a bolinha não estar na sua escolha inicial” para o único pote fechado que resta. - Portanto, após a revelação, o outro pote fechado tem probabilidade
de conter a bolinha, enquanto o seu pote mantém . - A necessidade de dobrar a aposta para obter a informação não muda essa comparação de probabilidades; só altera os valores monetários absolutos. Como trocar dobra a probabilidade de ganhar (de
para ), trocar é a estratégia racional para maximizar chance/expectativa.
Resposta
Sim. Vale a pena mudar: a probabilidade de ganhar se trocar é
, enquanto se ficar é
.