Um rapaz se sustenta com os lucros das apostas de um jogo que ele realiza: ele esconde uma bolinha embaixo de um pote (dentre três potes iguais), então troca com rapidez as posições dos potes e pergunta em qual pote está a bola. Para obter um lucro maior, ele “vende” uma informação: ele mostra o conteúdo de um dos potes em troca de o apostador dobrar a sua aposta. Ele não levanta o pote que tem a bolinha nem o pote que o apostador escolheu inicialmente. Pergunta-se: dobrando a aposta e vendo o pote que o rapaz levantou, vale a pena mudar a escolha inicial? (Dica: Solução parecida com o problema de Monty Hall)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no raciocínio.
  • Há três potes idênticos e uma bolinha escondida sob exatamente um deles.
  • O apostador escolhe inicialmente um pote (uma escolha entre três).
  • O rapaz (quem organiza) NÃO levanta o pote que contém a bolinha e NÃO levanta o pote escolhido pelo apostador. Ou seja, ele levanta um dos dois potes não escolhidos e esse pote mostrado está vazio.
  • Para ver o conteúdo desse pote mostrado, o apostador tem de dobrar a sua aposta. Ou seja, a informação só vem mediante pagar (dobrar) a aposta.
  • Pergunta que o enunciado faz: depois de dobrar a aposta e ver o pote que o rapaz levantou (que está vazio), vale a pena mudar a escolha inicial (trocar para o outro pote fechado) ou é melhor ficar na escolha inicial?
Informações relevantes listadas (retiradas do enunciado):
  • Probabilidade inicial de a bolinha estar em qualquer pote escolhido aleatoriamente: todas iguais (cada pote com probabilidade \frac{1}{3}).
  • O pote mostrado pelo rapaz é sempre vazio e não é nem o escolhido pelo apostador nem o que contém a bolinha.
O próximo passo é começar a analisar as probabilidades passo a passo.

Passo 2

Explicando os conceitos básicos que vamos usar (muito didático):
  • Probabilidade inicial: quando se escolhe um dos três potes ao acaso, a chance de ter escolhido o pote com a bolinha é \frac{1}{3}. Consequentemente, a chance de a bolinha estar em um dos outros dois potes juntos é \frac{2}{3}.
    • Em termos simples: “minha escolha inicial tem probabilidade \frac{1}{3} de ser correta e \frac{2}{3} de ser errada.”
  • O papel do rapaz que mostra um pote vazio: ele não escolhe aleatoriamente qualquer pote; ele tem a informação de onde está a bolinha e evita mostrá-la. Isso cria dependência entre o pote mostrado e onde está a bolinha — ou seja, a ação do rapaz elimina uma possibilidade sem alterar as probabilidades condicionais corretamente calculadas.
  • Estratégia a comparar: ficar com a escolha inicial (não trocar) ou trocar para o outro pote fechado após ver um pote vazio. Precisamos calcular as probabilidades de ganhar em cada estratégia, condicionadas ao fato de o rapaz ter mostrado um pote vazio que não foi o escolhido.

Passo 3

Análise por casos (o jeito mais direto e intuitivo, muito usado para o problema de Monty Hall). Vamos listar as possibilidades antes de qualquer revelação:
  • Caso A: a escolha inicial está correta (a bolinha está no pote escolhido). Probabilidade deste caso: \frac{1}{3}.
    • Se isso acontecer, quando o rapaz for mostrar um pote que não é o escolhido nem o que tem a bolinha, ele tem duas opções de potes para mostrar? Na verdade, se a sua escolha já tem a bolinha, os outros dois potes estão vazios; o rapaz mostra um desses vazios. Depois da revelação, se o apostador TROCAR, ele perde (porque a bolinha estava na escolha inicial). Portanto, neste caso trocar é ruim.
  • Caso B: a escolha inicial está errada (a bolinha está em um dos dois outros potes). Probabilidade deste caso: \frac{2}{3}.
    • Se isso acontecer, o rapaz não pode mostrar o pote com a bolinha, então ele necessariamente mostra o outro pote vazio (entre os dois não escolhidos). Dessa forma, após a divulgação, o único pote fechado que resta (diferente da escolha inicial) contém a bolinha. Neste caso, se o apostador TROCAR, ele ganha. Portanto, neste caso trocar é bom.
Resumo dos dois casos:
  • Se a escolha inicial estava certa (probabilidade \frac{1}{3}), trocar faz perder.
  • Se a escolha inicial estava errada (probabilidade \frac{2}{3}), trocar faz ganhar.

Passo 4

Convertendo o raciocínio do passo anterior em probabilidades condicionais finais:
  • Probabilidade de ganhar se o apostador mantiver a escolha inicial depois da revelação = probabilidade de que a escolha inicial já estava correta = \frac{1}{3}.
  • Probabilidade de ganhar se o apostador trocar para o outro pote fechado depois da revelação = probabilidade de que a escolha inicial estava errada = \frac{2}{3}.
Portanto, trocar dá chance de ganhar \frac{2}{3} enquanto ficar dá chance de ganhar \frac{1}{3}.
Isso é exatamente o mesmo resultado clássico do problema de Monty Hall. A ação do rapaz ao mostrar um pote vazio não “retribui” a probabilidade; ela concentra a probabilidade \frac{2}{3} dos dois potes não escolhidos em único pote fechado remanescente quando um deles é aberto como vazio.

Passo 5

Uma explicação alternativa (um pouco mais formal, usando noções de probabilidade condicional / Bayes, para fixar a intuição):
Defina os eventos:
  • C: a bolinha está no pote inicialmente escolhido. Então \mathbb{P}\text{(C)}=\frac{1}{3}.
  • R: o rapaz mostra um pote vazio (sempre o que ele faz). Queremos \mathbb{P}(\text{bola no pote não escolhido} \mid R)ã.
Como o rapaz escolhe o pote a mostrar de forma a nunca mostrar a bolinha, a probabilidade condicional de a bolinha estar no outro pote fechado (o que resta) dado que ele mostrou um pote vazio acaba sendo \frac{2}{3}. Se necessário, pode-se escrever com Bayes, mas o cálculo por casos (Passo 3) é mais direto e já rigoroso aqui.

Passo 6

Agora consideremos a parte monetária (o que significa “vale a pena” em termos de aposta dobrada). A observação importante é:
  • O fato de você ter de dobrar a aposta para ver o pote mostrado altera o montante em jogo, mas NÃO altera as probabilidades condicionais que já calculamos. Dobrar a aposta multiplica o ganho/ perda por um fator 2, tanto para a estratégia “ficar” quanto para a estratégia “trocar” (já que a aposta foi dobrada independentemente de qual decisão tomar depois). Logo, a escolha ótima em termos de probabilidade continua a ser trocar.
Exemplo numérico simples para ficar mais claro (assumindo que, ao ganhar, o apostador recebe exatamente o valor apostado como lucro — só para exemplificar o cálculo do valor esperado):
  • Suponha que, após dobrar, a aposta seja 2 (unidades monetárias).
  • Se ficar: probabilidade de ganhar \frac{1}{3}, então valor esperado E_{\text{ficar}}=\frac{1}{3}\cdot(+2)+\frac{2}{3}\cdot(-2)=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}.
  • Se trocar: probabilidade de ganhar \frac{2}{3}, então valor esperado E_{\text{trocar}}=\frac{2}{3}\cdot(+2)+\frac{1}{3}\cdot(-2)=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=+\frac{2}{3}.
Resultado: trocar dá valor esperado positivo (melhor), ficar dá valor esperado negativo (pior). Mesmo que a regra de pagamento seja diferente, o raciocínio relativo permanece: trocar tem o dobro da probabilidade de ganhar que ficar, então trocar maximiza a expectativa.

Passo 7

Conclusão intuitiva (resumindo e motivando para prova):
  • Antes da revelação, a sua escolha tinha probabilidade \frac{1}{3} de estar correta.
  • Quando o rapaz mostra um pote vazio (não o seu e não o que tem a bolinha), ele está essencialmente transferindo a probabilidade total \frac{2}{3} de “a bolinha não estar na sua escolha inicial” para o único pote fechado que resta.
  • Portanto, após a revelação, o outro pote fechado tem probabilidade \frac{2}{3} de conter a bolinha, enquanto o seu pote mantém \frac{1}{3}.
  • A necessidade de dobrar a aposta para obter a informação não muda essa comparação de probabilidades; só altera os valores monetários absolutos. Como trocar dobra a probabilidade de ganhar (de \frac{1}{3} para \frac{2}{3}), trocar é a estratégia racional para maximizar chance/expectativa.

Resposta

Sim. Vale a pena mudar: a probabilidade de ganhar se trocar é \frac{2}{3}, enquanto se ficar é \frac{1}{3}.

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