(5,0) A reação em fase gasosa 2 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{C}+2 \mathrm{D} ocorre em um reator heterogêneo de leito móvel. A corrente de alimentação contém 95 \% da espécie A e opera em condições que sinterizam o catalisador. A velocidade de decaimento catalítico é de 1^{\underline{\text { a }}} ordem em relação à atividade e independe da concentração do reagente.
Considere que não há gradientes de temperaturá e de pressão.
Informações adicionais:
\dot{v}_{0}=350 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{n}
Velocidade específica da reação =5 \times 10^{2} \mathrm{~h}^{-1}
Constante de desativação =9,5 \times 10^{-1} \mathrm{~h}^{-1} \rightarrow k_{\mathrm{d}}
Porosidade do leito =0,4 \rightarrow k_{3}
Massa específica aparente =0,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
Vazão volumétrica de alimentação =350 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}
Massa de catalisador =6 ton → \omega
Vazão de catalisador = 1,5 ton/h
Considerando as informações anteriores, determine:
a) O volume do reator, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3}.
b) A conversão alcançada.
c) O que representa a sinterização de um catalisador? Explique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. a) Determinar o volume do reator, em \mathrm{m}^3.
  2. b) Determinar a conversão alcançada.
  3. c) Explicar o que representa a sinterização de um catalisador.
Informações relevantes dadas (vou listar exatamente como vou usar cada uma):
  • corrente de alimentação: 95\% da espécie A (fração molar y_{A0}=0{,}95);
  • vazão volumétrica de alimentação: \dot{V}_0=350\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} (o enunciado também mostra \dot{v}_0=350\\ \mathrm{m}^3/\text{n} — interpreto como 350 m³/h em CNTP);
  • velocidade específica da reação: k=5\times10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1} (usarei este k no termo cinético da lei de velocidade);
  • constante de desativação do catalisador: k_d=9{,}5\times10^{-1}\\ \mathrm{h}^{-1};
  • porosidade do leito: \varepsilon=0{,}4;
  • massa específica aparente (densidade aparente do leito): \rho_b = 0{,}6\\ \mathrm{g/cm^3} = 600\\ \mathrm{kg/m^3};
  • massa de catalisador no reator: W=6\\ \text{ton}=6000\\ \mathrm{kg};
  • vazão de catalisador (fluxo mássico de sólidos): \dot{W}=1{,}5\\ \text{ton/h}=1500\\ \mathrm{kg/h}.
Observações que vou assumir (explico e justifico quando aparecerem nos passos seguintes):
  • uso do volume molar padrão (CNTP) \,V_m=22{,}4\\ \mathrm{L/mol}=0{,}0224\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} para obter vazão molar total a partir de \dot{V}_0;
  • a cinética é de primeira ordem em \mathrm{A} e a velocidade depende multiplicativamente da atividade do catalisador a(t): r \propto k\,a(t)\,C_A;
  • assumirei vazão volumétrica aproximadamente constante ao longo do reator (não há gradientes de T e p e o enunciado não pede correção por variação de volume).

Passo 2

Cálculo do volume do reator a partir da massa aparente do catalisador.
Explicação do raciocínio: a “massa específica aparente” ( \rho_b) normalmente é dada como massa por volume de leito (já incluindo vazios macroscópicos). Assim o volume total do leito (volume do reator ocupado pelo leito) é
V=\frac{W}{\rho_b}.
Agora os números (conversão de unidades primeiro):
\rho_b=0{,}6\\ \mathrm{g/cm^3}=600\\ \mathrm{kg/m^3}, \qquad W=6\\ \text{ton}=6000\\ \mathrm{kg}.
Logo
V=\frac{6000}{600}=10\\ \mathrm{m}^3.
Comentário didático: esse V é o volume total ocupado pelo leito (já considera a empacotamento aparente). A porosidade \varepsilon será usada depois para calcular o volume de gás (espaço vazio) dentro do leito.

Passo 3

Tempo de residência do catalisador no reator (idade máxima do catalisador) e lei de desativação.
Raciocínio: como o leito é de leito móvel com fluxo de catalisador \dot{W}, o tempo médio que um grão de catalisador passa no reator (idade do catalisador na saída) é
\tau_c=\frac{W}{\dot{W}}.
Numérico:
\tau_c=\frac{6000\\ \mathrm{kg}}{1500\\ \mathrm{kg/h}}=4\\ \mathrm{h}.
Lei de desativação (o enunciado diz “1ª ordem em relação à atividade e independe da concentração”):
\frac{da}{dt}=-k_d\,a(t).
Solução (condição inicial a(0)=1, normalizando atividade inicial a 1):
a(t)=\exp(-k_d t).

Passo 4

Cálculo da atividade média do catalisador vista pelo gás ( a_{\mathrm{média}}é).
Raciocínio: ao atravessar o leito, o gás interage com partículas de diferentes idades t\in[0,\tau_c]. No estado estacionário, a fração de massa de catalisador com idade entre t e t+dt é dt/\tau_c. Assim a atividade média ponderada pela massa do catalisador é
a_{\mathrm{média}}=\frac{1}{\tau_c}\int_{0}^{\tau_c} a(t)\,dt=\frac{1}{\tau_c}\int_{0}^{\tau_c} e^{-k_d t}\,dt.é
Avaliação analítica:
a_{\mathrm{média}}=\frac{1}{\tau_c}\cdot\frac{1-e^{-k_d\tau_c}}{k_d}.é
Substituindo \tau_c=4\\ \mathrm{h} e k_d=0{,}95\\ \mathrm{h}^{-1}:
k_d\tau_c=0{,}95\times4=3{,}8,\qquad e^{-3{,}8}\approx0{,}0223708,
a_{\mathrm{média}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-0{,}0223708}{0{,}95} =\frac{1}{4}\cdot\frac{0{,}9776292}{0{,}95} \approx0{,}25727.é
Interpretação: em média o catalisador opera com cerca de 25{,}7\% da atividade inicial devido à desativação por sinterização ao longo da sua permanência no leito.

Passo 5

Cálculo da vazão molar inicial de \mathrm{A} e concentração inicial.
Raciocínio: para transformar vazão volumétrica em vazão molar usa-se o volume molar padrão \,V_m=0{,}0224\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} (CNTP), pois o enunciado indicou \mathrm{m}^3/\text{n}. Assim:
\dot{n}_{\text{total}}=\frac{\dot{V}_0}{V_m}=\frac{350}{0{,}0224}=15625\\ \mathrm{mol/h}.
A vazão molar de \mathrm{A} na alimentação é
F_{A0}=y_{A0}\,\dot{n}_{\text{total}}=0{,}95\times15625=14843{,}75\\ \mathrm{mol/h}.
A concentração molar de \mathrm{A} no gás (assumindo vazão volumétrica praticamente constante ao longo do reator) é
C_A=\frac{F_A}{\dot{V}_0}.
No início,
C_{A0}=\frac{14843{,}75}{350}\approx42{,}4107\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 6

Equação de balanço e integração para obter a conversão.
Raciocínio e hipótese: a cinética é de primeira ordem em \mathrm{A} e proporcional à atividade a. A velocidade volumétrica de consumo de \mathrm{A} por volume total de reator (mol/(m^3·h)) é dada por
r_V= (1-\varepsilon)\;k\;a\;C_A,
onde:
  • k é a constante fornecida (5\times10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1});
  • (1-\varepsilon) é a fração de volume ocupado pelo catalisador (volume de catalisador por volume de leito);
  • C_A é a concentração instantânea de A.
Explicação do fator (1-\varepsilon): k\,a\,C_A é a taxa por volume de catalisador; para converter em taxa por volume total de reator (dF_A/dV) multiplica-se por fração de volume de catalisador (1-\varepsilon).
Equação diferencial para o fluxo molar F_A ao longo do reator:
\frac{dF_A}{dV}=- (1-\varepsilon)\,k\,a_{\text{local}}\,C_A.
Com as hipóteses de vazão volumétrica constante e usando C_A=\dfrac{F_A}{\dot{V}_0}, obtemos
\frac{dF_A}{dV}=- (1-\varepsilon)\,k\,a_{\text{local}}\;\frac{F_A}{\dot{V}_0}.
No leito móvel, a atividade varia com a idade das partículas; para simplificar (aproximação adotada aqui e comumente usada) substituímos a_{\text{local}} pela atividade média a_{\mathrm{média}}é calculada no passo 4. Então a equação fica linear e integrável:
\frac{dF_A}{F_A}=-\frac{(1-\varepsilon)\,k\,a_{\mathrm{média}}}{\dot{V}_0}\,dV.é
Integração de V=0 até V=V e de F_{A0} até F_A
\ln\!\left(\frac{F_A}{F_{A0}}\right)=-\frac{(1-\varepsilon)\,k\,a_{\mathrm{média}}\,V}{\dot{V}_0}.é
Definindo conversão X=1-\dfrac{F_A}{F_{A0}}, obtemos
X=1-\exp\!\Big(-\frac{(1-\varepsilon)\,k\,a_{\mathrm{média}}\,V}{\dot{V}_0}\Big).é

Passo 7

Cálculo numérico da conversão usando V=10\\ \mathrm{m}^3.
Substituindo valores:
1-\varepsilon=1-0{,}4=0{,}6, \quad k=5\times10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1}, \quad a_{\mathrm{média}}\approx0{,}25727, \quad \dot{V}_0=350\\ \mathrm{m^3/h}, \quad V=10\\ \mathrm{m^3}.é
O termo no expoente é
\frac{(1-\varepsilon)\,k\,a_{\mathrm{média}}\,V}{\dot{V}_0} =\frac{0{,}6\times500\times0{,}25727\times10}{350}\approx2{,}20519.é
Logo
X=1-\exp(-2{,}20519)\approx1-0{,}11032=0{,}88968\approx0{,}8897.
Em porcentagem, X\approx88{,}97\%.
Comentário didático: a aproximação de usar a_{\mathrm{média}}é assume que o gás “vê” uma atividade média do catalisador ao longo do leito; essa é uma aproximação razoável quando há circulação contínua e mistura em regime estacionário. Se fosse necessário mais rigor, deveria-se tratar a variação de a com a posição e resolver acoplamentos, mas para prova essa abordagem é a mais prática.

Passo 8

Resposta conceitual sobre sinterização (parte c).
Explicação didática e curta: sinterização é o processo pelo qual partículas de um catalisador (ou a própria superfície ativa) coalescem e perdem área superficial disponível por causa de temperatura elevada ou agressão térmica/ambiental. Isso reduz o número de sítios ativos e causa desativação irreversível ou semi‑irreversível do catalisador, diminuindo sua atividade e, portanto, a velocidade da reação. Em termos práticos: perda de área específica, fechamento de poros, crescimento de cristalinidade e diminuição da dispersão da fase ativa — tudo isso reduz a eficiência catalítica.

Resposta

V=10\\ \mathrm{m}^3
X=0{,}8897\\ (\text{ou }88{,}97\%)
Sinterização: processo em que a superfície e poros do catalisador se fundem/gravam por ação térmica, diminuindo a área ativa e causando perda de atividade (desativação do catalisador).

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