Um rebatedor lança uma bola com velocidade
e ângulo
acima da horizontal. Nesse instante, um defensor, a uma distância
ao longo da linha de trajetória, corre para pegar a bola com velocidade constante w.
(i) Encontre o valor de w que o fará chegar exatamente à bola quando ela cair. (Ignore a altura do defensor e do rebatedor.)
(ii) A resposta muda se ambos tiverem a mesma altura?
(i) Encontre o valor de w que o fará chegar exatamente à bola quando ela cair. (Ignore a altura do defensor e do rebatedor.)
(ii) A resposta muda se ambos tiverem a mesma altura?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que é pedido):
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial da bola:
. - Ângulo de lançamento acima da horizontal:
. - Um defensor está inicialmente a uma distância
ao longo da linha horizontal (linha de trajetória projetada no solo) a partir do ponto de lançamento. - O defensor corre com velocidade constante
ao longo dessa linha horizontal. - Devemos ignorar a altura do defensor e do rebatedor (ou seja, considerar lançamento e ponto do defensor no mesmo nível horizontal).
- Velocidade inicial da bola:
- Perguntas:
(i) Encontrar o valor deque fará o defensor chegar exatamente ao ponto onde a bola cai no mesmo instante em que ela cai.
(ii) A resposta muda se ambos (rebatedor e defensor) tiverem a mesma altura (ou seja, se o lançamento e a queda ocorrerem ao mesmo nível, possivelmente não no nível do solo)?
Passo 2
Definir o sistema de referência e as equações do movimento (o passo teórico-essencial).
- Coloco a origem em
no ponto de lançamento. O eixo é horizontal, o eixo vertical para cima. - No movimento do projétil, a aceleração vertical constante é
(com a aceleração da gravidade). Não há aceleração horizontal (sem resistência do ar). - Decomposição da velocidade inicial em componentes:
- Componente horizontal:
. - Componente vertical:
.
- Componente horizontal:
- As equações paramétricas do movimento em função do tempo
são (essas vêm diretamente da cinemática com aceleração constante):
Explicação rápida e intuitiva: o termo
é distância percorrida horizontalmente sem aceleração; o termo
é a subida inicial vertical e
é a queda por gravidade.
Passo 3
Calcular o tempo total de voo
até a bola voltar ao mesmo nível do lançamento (ignorando alturas, solução física não-trivial).
- A bola atinge o solo (mesmo nível do lançamento) quando
. Igualando e resolvendo: - Fatorando
: - As duas raízes são
(instante do lançamento) e a outra é obtida por , daí
Motivo prático: escolhemos a raiz positiva não nula, que é o tempo de vôo até a bola voltar ao mesmo nível de partida.
Passo 4
Calcular o alcance horizontal
(posição
onde a bola cai).
- Usar
com : - Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica
Breve comentário:
é a distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto de queda (quando o ponto de queda está no mesmo nível do lançamento).
Passo 5
Modelar o movimento do defensor e impor que ele chegue ao ponto de queda exatamente no tempo
.
- O defensor parte de
no instante e corre com velocidade constante em direção ao ponto de queda . A distância que ele precisa percorrer é (se estiver à esquerda do ponto de queda; se estiver à direita, o mesmo raciocínio vale com sinal trocado). - Como a velocidade é constante, o tempo que o defensor leva para percorrer essa distância é
(tomando sinais orientados). - A condição de encontro exatamente quando a bola cai é
- Substituindo
e na igualdade , obtemos: - Isolando
(fazendo as manipulações passo a passo):
- Usando
para simplificar:
Essa é a expressão final para
. Interpretação imediata: há uma parte
(a componente horizontal da velocidade inicial da bola) e uma correção negativa proporcional a
.
Passo 6
Interpretações físicas, sinais e casos limites (como aplicar isso numa prova e o que olhar).
- Sinal de
: a dedução acima é orientada (distância percorrida ). Se (o defensor está entre o lançador e o ponto de queda) então e a expressão para deve dar um valor positivo — o defensor corre no sentido positivo até . - Se
então : o defensor já está exatamente no ponto de queda. - Se
então e a expressão produz um negativo no sentido orientado; fisicamente isso significa que o defensor teria que correr no sentido contrário (voltar) com velocidade . - Caso especial: se
(defensor no ponto de lançamento), a expressão dá . Interpretação útil para prova: para chegar ao alcance final no mesmo tempo que a bola, o defensor teria que ter velocidade horizontal igual à componente horizontal da velocidade da bola — faz sentido intuitivo. - Checar viabilidade: em situações reais pode ocorrer que a expressão dê um valor negativo inaceitável para o contexto (por exemplo, defensor não pode correr com velocidade negativa se for impossível correr no sentido pedido); então sempre interpretá-la com valor absoluto e direção adequada.
Passo 7
Responder à parte (ii): e se ambos tiverem a mesma altura, muda a resposta?
- Situação: se o rebatedor e o defensor estiverem no mesmo nível (mesma altura inicial e final para a comparação), então o tempo de voo para a bola até retornar a esse mesmo nível é exatamente o mesmo que usamos antes:
porque, ao impor que a altura final seja igual à altura inicial, ao resolver (mesma altura) obtém-se a mesma equação fatorada que levava à raiz não-nula acima. - Consequentemente, o alcance
também é o mesmo: - Conclusão direta: se ambos têm a mesma altura inicial/final, a expressão para
NÃO muda — continua sendo - Observação pedagógica: a fórmula do tempo de voo e do alcance quando ponto de queda e ponto de partida estão no mesmo nível é independente do valor absoluto dessa altura; por isso a resposta não muda quando ambos estão à mesma altura (mesmo que não seja necessariamente o “solo”).
Resposta
Não — se o rebatedor e o defensor estiverem no mesmo nível, a resposta não muda; a expressão para
permanece
.