Um rebatedor lança uma bola com velocidade \mathrm{v}_{0} e ângulo \theta acima da horizontal. Nesse instante, um defensor, a uma distância \mathrm{x}_{0} ao longo da linha de trajetória, corre para pegar a bola com velocidade constante w.
(i) Encontre o valor de w que o fará chegar exatamente à bola quando ela cair. (Ignore a altura do defensor e do rebatedor.)
(ii) A resposta muda se ambos tiverem a mesma altura?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial da bola: \,v_0.
    • Ângulo de lançamento acima da horizontal: \theta.
    • Um defensor está inicialmente a uma distância \,x_0 ao longo da linha horizontal (linha de trajetória projetada no solo) a partir do ponto de lançamento.
    • O defensor corre com velocidade constante w ao longo dessa linha horizontal.
    • Devemos ignorar a altura do defensor e do rebatedor (ou seja, considerar lançamento e ponto do defensor no mesmo nível horizontal).
  • Perguntas:
    (i) Encontrar o valor de w que fará o defensor chegar exatamente ao ponto onde a bola cai no mesmo instante em que ela cai.
    (ii) A resposta muda se ambos (rebatedor e defensor) tiverem a mesma altura (ou seja, se o lançamento e a queda ocorrerem ao mesmo nível, possivelmente não no nível do solo)?

Passo 2

Definir o sistema de referência e as equações do movimento (o passo teórico-essencial).
  • Coloco a origem em x=0, y=0 no ponto de lançamento. O eixo x é horizontal, o eixo y vertical para cima.
  • No movimento do projétil, a aceleração vertical constante é -g (com g>0 a aceleração da gravidade). Não há aceleração horizontal (sem resistência do ar).
  • Decomposição da velocidade inicial em componentes:
    • Componente horizontal: \,v_{0x}=v_0\cos\theta.
    • Componente vertical: \,v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • As equações paramétricas do movimento em função do tempo t são (essas vêm diretamente da cinemática com aceleração constante): x(t)=v_0\cos\theta\;t,
y(t)=v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2.
Explicação rápida e intuitiva: o termo v_0\cos\theta\;t é distância percorrida horizontalmente sem aceleração; o termo v_0\sin\theta\;t é a subida inicial vertical e -\tfrac{1}{2}gt^2 é a queda por gravidade.

Passo 3

Calcular o tempo total de voo t_{\text{voo}} até a bola voltar ao mesmo nível do lançamento (ignorando alturas, solução física não-trivial).
  • A bola atinge o solo (mesmo nível do lançamento) quando y(t)=0. Igualando e resolvendo: v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2=0.
  • Fatorando t: t\left(v_0\sin\theta-\tfrac{1}{2}gt\right)=0.
  • As duas raízes são t=0 (instante do lançamento) e a outra é obtida por v_0\sin\theta-\tfrac{1}{2}gt=0, daí t_{\text{voo}}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
Motivo prático: escolhemos a raiz positiva não nula, que é o tempo de vôo até a bola voltar ao mesmo nível de partida.

Passo 4

Calcular o alcance horizontal R (posição x onde a bola cai).
  • Usar x(t)=v_0\cos\theta\;t com t=t_{\text{voo}}: R=x(t_{\text{voo}})=v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos a forma clássica R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Breve comentário: R é a distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto de queda (quando o ponto de queda está no mesmo nível do lançamento).

Passo 5

Modelar o movimento do defensor e impor que ele chegue ao ponto de queda exatamente no tempo t_{\text{voo}}.
  • O defensor parte de x=x_0 no instante t=0 e corre com velocidade constante w em direção ao ponto de queda x=R. A distância que ele precisa percorrer é \,D=R-x_0 (se estiver à esquerda do ponto de queda; se estiver à direita, o mesmo raciocínio vale com sinal trocado).
  • Como a velocidade é constante, o tempo que o defensor leva para percorrer essa distância é t_{\text{def}}=\dfrac{R-x_0}{w} (tomando sinais orientados).
  • A condição de encontro exatamente quando a bola cai é t_{\text{def}}=t_{\text{voo}}.
  • Substituindo t_{\text{voo}}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} e R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} na igualdade \dfrac{R-x_0}{w}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}, obtemos: \frac{\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}-x_0}{w}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  • Isolando w (fazendo as manipulações passo a passo): w=\frac{\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}-x_0}{\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}} =\left(\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}-x_0\right)\cdot\frac{g}{2v_0\sin\theta}.
w=\frac{v_0^2\sin(2\theta)-g x_0}{2v_0\sin\theta}.
  • Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta para simplificar: w=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta - g x_0}{2v_0\sin\theta} =v_0\cos\theta-\frac{g x_0}{2v_0\sin\theta}.
Essa é a expressão final para w. Interpretação imediata: há uma parte \,v_0\cos\theta (a componente horizontal da velocidade inicial da bola) e uma correção negativa proporcional a x_0.

Passo 6

Interpretações físicas, sinais e casos limites (como aplicar isso numa prova e o que olhar).
  • Sinal de w: a dedução acima é orientada (distância percorrida R-x_0). Se x_0<R (o defensor está entre o lançador e o ponto de queda) então R-x_0>0 e a expressão para w deve dar um valor positivo — o defensor corre no sentido positivo até R.
  • Se x_0=R então w=0: o defensor já está exatamente no ponto de queda.
  • Se x_0>R então R-x_0<0 e a expressão produz um w negativo no sentido orientado; fisicamente isso significa que o defensor teria que correr no sentido contrário (voltar) com velocidade |w|=\dfrac{x_0-R}{t_{\text{voo}}}.
  • Caso especial: se x_0=0 (defensor no ponto de lançamento), a expressão dá w=v_0\cos\theta. Interpretação útil para prova: para chegar ao alcance final no mesmo tempo que a bola, o defensor teria que ter velocidade horizontal igual à componente horizontal da velocidade da bola — faz sentido intuitivo.
  • Checar viabilidade: em situações reais pode ocorrer que a expressão dê um valor negativo inaceitável para o contexto (por exemplo, defensor não pode correr com velocidade negativa se for impossível correr no sentido pedido); então sempre interpretá-la com valor absoluto e direção adequada.

Passo 7

Responder à parte (ii): e se ambos tiverem a mesma altura, muda a resposta?
  • Situação: se o rebatedor e o defensor estiverem no mesmo nível (mesma altura inicial e final para a comparação), então o tempo de voo para a bola até retornar a esse mesmo nível é exatamente o mesmo que usamos antes: t_{\text{voo}}=\frac{2v_0\sin\theta}{g},porque, ao impor que a altura final seja igual à altura inicial, ao resolver y(t)= (mesma altura) obtém-se a mesma equação fatorada que levava à raiz não-nula acima.
  • Consequentemente, o alcance R também é o mesmo: R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
  • Conclusão direta: se ambos têm a mesma altura inicial/final, a expressão para w NÃO muda — continua sendo w=v_0\cos\theta-\frac{g x_0}{2v_0\sin\theta}.
  • Observação pedagógica: a fórmula do tempo de voo e do alcance quando ponto de queda e ponto de partida estão no mesmo nível é independente do valor absoluto dessa altura; por isso a resposta não muda quando ambos estão à mesma altura (mesmo que não seja necessariamente o “solo”).

Resposta

\displaystyle w=v_0\cos\theta-\frac{g\,x_0}{2v_0\sin\theta}.
Não — se o rebatedor e o defensor estiverem no mesmo nível, a resposta não muda; a expressão para w permanece \displaystyle w=v_0\cos\theta-\frac{g\,x_0}{2v_0\sin\theta}.

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