6- Em um recipiente com 400 ml de chá a 80^{\circ} \mathrm{C}, são adicionados 10 ml de água gelada a 5^{\circ} \mathrm{C}. O recipiente possui capacidade térmica desprezível. Assinale a alternativa que representa a temperatura de equilíbrio do sistema. Dados: • Densidade da água igual à do chá: 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} ou 1 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}; • Calor específico da água(igual ao do chá): 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} ou 4200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \cdot 1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio do sistema formado por um recipiente com chá quente e água gelada ao serem misturados. Informações fornecidas:
  • Volume de chá: 400\\ \mathrm{ml} à temperatura 80^{\circ}\mathrm{C}.
  • Volume de água gelada: 10\\ \mathrm{ml} à temperatura 5^{\circ}\mathrm{C}.
  • Densidade do líquido (água = chá): 1\\ \mathrm{g/ml}.
  • Calor específico: 1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}\,^{\circ}\mathrm{C} (equivalente a 4200\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Conversão: 1\\ \mathrm{cal}=4,18\\ \mathrm{J}.
  • O recipiente tem capacidade térmica desprezível (logo não armazena calor).
    O que se pede: determinar a temperatura de equilíbrio T_{\text{eq}} após mistura.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): quando dois corpos são colocados em contato térmico isolado, a energia térmica perdida por um corpo é igual à energia térmica ganha pelo outro (conservação de energia térmica). Em forma de equação de calor, para duas massas que trocam calor sem perdas externas:
m_1 c \bigl(T_{\text{eq}}-T_1\bigr) + m_2 c \bigl(T_{\text{eq}}-T_2\bigr)=0.
Aqui:
  • m_1 e m_2 são as massas dos corpos (em gramas ou kg),
  • c é o calor específico (mesma unidade para ambos),
  • T_1 e T_2 são as temperaturas iniciais,
  • T_{\text{eq}} é a temperatura final comum.
    Explicação das contas: m c (T_{\text{eq}}-T) é o calor trocado por um corpo quando sua temperatura varia de T para T_{\text{eq}}. Se o resultado for negativo, o corpo perdeu calor; se positivo, ganhou calor. A soma deve ser zero num sistema isolado.

Passo 3

Como o calor específico c é o mesmo para os dois líquidos, podemos simplificar a equação e isolar T_{\text{eq}}. Desenvolvendo:
m_1 c T_{\text{eq}} - m_1 c T_1 + m_2 c T_{\text{eq}} - m_2 c T_2 = 0.
Fatorando T_{\text{eq}} e cancelando c (não nulo):
T_{\text{eq}}\,(m_1+m_2) = m_1 T_1 + m_2 T_2.
Portanto a fórmula prática é a média ponderada:
T_{\text{eq}} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}.
Explicação simples: a temperatura final é a média das temperaturas iniciais ponderada pelas massas (ou quantidades) de cada parcela — faz sentido: quanto mais massa quente, mais ela “puxa” a média para cima.

Passo 4

Converter volumes em massas usando a densidade fornecida 1\\ \mathrm{g/ml}:
  • Massa do chá: m_{\text{chá}} = 400\\ \mathrm{ml}\times 1\\ \mathrm{g/ml} = 400\\ \mathrm{g}.á
  • Massa da água fria: m_{\text{fria}} = 10\\ \mathrm{ml}\times 1\\ \mathrm{g/ml} = 10\\ \mathrm{g}.
    Temperaturas iniciais:
  • T_{\text{chá}} = 80^{\circ}\mathrm{C}á.
  • T_{\text{fria}} = 5^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Substituir na fórmula da média ponderada:
T_{\text{eq}} = \frac{400\cdot 80 + 10\cdot 5}{400+10}.
Calcular numerador e denominador passo a passo:
400\cdot 80 = 32000, \qquad 10\cdot 5 = 50,
\text{numerador} = 32000 + 50 = 32050, \qquad \text{denominador} = 410.
Simplificando a fração dividindo por 10:
T_{\text{eq}} = \frac{32050}{410} = \frac{3205}{41}.
Fazendo a divisão inteira e o resto:
41\times 78 = 3198,\quad \text{resto } 3205-3198=7,
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T_{\text{eq}} = 78 + \frac{7}{41} \approx 78,1707\ldots^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática para a prova: T_{\text{eq}}\approx 78,17^{\circ}\mathrm{C} (ou 78,2^{\circ}\mathrm{C} se quiser uma casa decimal).

Passo 6

Comentário didático-final e verificação rápida: poderia-se também calcular em unidades SI (kg e J/kg·K) usando m_{\text{chá}}=0,4\\ \mathrm{kg}á, m_{\text{fria}}=0,01\\ \mathrm{kg} e c=4200\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}; como c é igual para ambos os corpos, o resultado da média ponderada é idêntico. Isso confirma consistência de unidades e que a resposta não depende da unidade escolhida, desde que consistente.

Resposta

T_{\text{eq}} \approx 78{,}17^{\circ}\mathrm{C}

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