Uma rede elétrica bifásica 220 V de 50 m e condutores de cobre 10 \mathrm{~mm}^{2} com resistência Rca =2,19(\Omega / \mathrm{km}) e reatância indutiva X_{L}=0,13(\Omega / k m) está alimentando uma carga de 5 kVA e F P=0,55. Pede-se:
a) Potências consumidas;
b) Corrente consumida e ângulo de fase;
c) Queda de tensão nos condutores;
d) Tensão real na carga;
e) Potência ativa perdida na rede;
f) Corrente de projeto e corrente do disjuntor tipo industrial, considerando fator de segurança de 10 \%.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
Dados:
Tensão da rede: 220\\ \mathrm{V} (tensão entre os condutores).
Comprimento do trecho: 50\\ \mathrm{m}.
Condutores: cobre, seção 10\\ \mathrm{mm}^2 (não é necessário para contas numéricas além de justificar uso dos parâmetros por km).
Resistência por comprimento: R_{ca}=2{,}19\\ \Omega/\mathrm{km}.
Reatância indutiva por comprimento: X_L=0{,}13\\ \Omega/\mathrm{km}.
Fator de potência da carga: \mathrm{PF}=0{,}55 (assumo indutiva, isto é, corrente em atraso).
O enunciado pede:
a) Potências consumidas (ativa e reativa) pela carga.
b) Corrente consumida e ângulo de fase (entre tensão e corrente).
c) Queda de tensão nos condutores (valor da queda e %).
d) Tensão real na carga (valor eficaz e ângulo).
e) Potência ativa perdida na rede (perdas nos condutores).
f) Corrente de projeto e corrente do disjuntor industrial, considerando fator de segurança de 10\%.
Passo 2
Converto os parâmetros por km para o trecho de 50\\ \mathrm{m} e explico por que uso o dobro da resistência/reatância:
50\\ \mathrm{m}=0{,}05\\ \mathrm{km}. Para cada condutor:
Explicação prática: em uma alimentação monofásica/bifásica simples com dois condutores, a corrente percorre ida e volta, portanto a impedância total do circuito que causa a queda de tensão é a soma das impedâncias dos dois condutores (loop). Assim:
Calculo das potências consumidas pela carga (parte (a)). Conceito: a carga tem potência aparente S, o fator de potência \mathrm{PF}=\cos\varphi relaciona potência ativa P e reativa Q:
Interpretação: a carga consome P=2750\\ \mathrm{W} de potência ativa e Q\approx4177{,}1\\ \mathrm{var} de potência reativa (indutiva).
Passo 4
Corrente consumida e ângulo de fase (parte (b)). Conceito: corrente eficaz é dada por I=\dfrac{S}{V} para circuito monofásico, e a fase da corrente é atrasada em \varphi quando a carga é indutiva.
Interpretação: a corrente tem módulo I\approx22{,}73\\ \mathrm{A} e está atrasada em 56{,}63^\circ em relação à tensão (corrente em atraso).
Passo 5
Queda de tensão nos condutores (parte (c)). Conceito: a queda de tensão é a tensão no trecho devido à impedância do cabo e à corrente. Em forma fasorial:
Note que a diferença entre esse 1{,}30\% e os 2{,}27\% da queda de cabo vem do fato de que a queda vetorial se soma no domínio fasorial (vetorial) e a magnitude resultante da tensão na carga não é simplesmente 220-|\underline{V}_{\text{queda}}|.
Passo 7
Potência ativa perdida na rede (parte (e)). Conceito: perdas resistivas (em W) são dadas por P_{\text{perda}}=I^2 R_{\text{total}} (a reatância não dissipa potência ativa).
Explicação sobre escolha do disjuntor (prática): a corrente nominal comercial do disjuntor deve ser igual ou imediatamente superior à corrente de projeto. Existem curvas padrão (20 A, 25 A, 32 A, 40 A, …). Como I_{\text{projeto}}=25{,}0\\ \mathrm{A}, existem duas opções razoáveis:
Usar um disjuntor nominal de 25\\ \mathrm{A} (se disponível e se as correntes de partida da carga permitirem), ou
Escolher o próximo padrão superior, normalmente 32\\ \mathrm{A}, para evitar disparos indesejáveis em picos de partida (prática comum em instalação industrial).
Recomendação: selecionar um disjuntor industrial de 32\\ \mathrm{A} (proteção magnética/termo-magnética adequada) é prudente, a não ser que se saiba que a carga tem correntes de partida muito baixas e deseje um corte mais próximo do projeto (então 25\\ \mathrm{A} também seria aceitável).
Resposta
a) P=2750\\ \mathrm{W},\quad Q\approx4177{,}1\\ \mathrm{var}.
b) I\approx22{,}73\\ \mathrm{A},\quad \varphi\approx56{,}63^\circ (corrente em atraso).
c) Queda nos condutores \underline{V}_{\text{queda}}\approx2{,}984 - j3{,}993\\ \mathrm{V}, |\underline{V}_{\text{queda}}|\approx4{,}99\\ \mathrm{V} (\approx2{,}27\% de 220\\ \mathrm{V}).
d) Tensão na carga \underline{V}_{\text{carga}}\approx217{,}016 + j3{,}993\\ \mathrm{V}, |\underline{V}_{\text{carga}}|\approx217{,}14\\ \mathrm{V} (ângulo \approx1{,}06^\circ).
e) Potência ativa perdida na rede P_{\text{perda}}\approx113{,}11\\ \mathrm{W}.
f) Corrente de projeto I_{\text{projeto}}=25{,}0\\ \mathrm{A}. Disjuntor recomendado: 32\\ \mathrm{A} (ou, se preferir exatamente o valor projetado e tiver controle de partidas, pode-se usar 25\\ \mathrm{A}).