Uma rede elétrica bifásica 220 V de 50 m e condutores de cobre 10 \mathrm{~mm}^{2} com resistência Rca =2,19(\Omega / \mathrm{km}) e reatância indutiva X_{L}=0,13(\Omega / k m) está alimentando uma carga de 5 kVA e F P=0,55. Pede-se:
a) Potências consumidas;
b) Corrente consumida e ângulo de fase;
c) Queda de tensão nos condutores;
d) Tensão real na carga;
e) Potência ativa perdida na rede;
f) Corrente de projeto e corrente do disjuntor tipo industrial, considerando fator de segurança de 10 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
Dados:
  • Tensão da rede: 220\\ \mathrm{V} (tensão entre os condutores).
  • Comprimento do trecho: 50\\ \mathrm{m}.
  • Condutores: cobre, seção 10\\ \mathrm{mm}^2 (não é necessário para contas numéricas além de justificar uso dos parâmetros por km).
  • Resistência por comprimento: R_{ca}=2{,}19\\ \Omega/\mathrm{km}.
  • Reatância indutiva por comprimento: X_L=0{,}13\\ \Omega/\mathrm{km}.
  • Carga aparente: S=5\\ \mathrm{kVA}=5000\\ \mathrm{VA}.
  • Fator de potência da carga: \mathrm{PF}=0{,}55 (assumo indutiva, isto é, corrente em atraso).
O enunciado pede:
a) Potências consumidas (ativa e reativa) pela carga.
b) Corrente consumida e ângulo de fase (entre tensão e corrente).
c) Queda de tensão nos condutores (valor da queda e %).
d) Tensão real na carga (valor eficaz e ângulo).
e) Potência ativa perdida na rede (perdas nos condutores).
f) Corrente de projeto e corrente do disjuntor industrial, considerando fator de segurança de 10\%.

Passo 2

Converto os parâmetros por km para o trecho de 50\\ \mathrm{m} e explico por que uso o dobro da resistência/reatância:
  • 50\\ \mathrm{m}=0{,}05\\ \mathrm{km}. Para cada condutor:
R_{\text{cond}}=R_{ca}\times 0{,}05=2{,}19\cdot0{,}05=0{,}1095\\ \Omega,
X_{\text{cond}}=X_L\times 0{,}05=0{,}13\cdot0{,}05=0{,}0065\\ \Omega.
Explicação prática: em uma alimentação monofásica/bifásica simples com dois condutores, a corrente percorre ida e volta, portanto a impedância total do circuito que causa a queda de tensão é a soma das impedâncias dos dois condutores (loop). Assim:
R_{\text{total}}=2\cdot R_{\text{cond}}=2\cdot0{,}1095=0{,}219\\ \Omega,
X_{\text{total}}=2\cdot X_{\text{cond}}=2\cdot0{,}0065=0{,}013\\ \Omega.

Passo 3

Calculo das potências consumidas pela carga (parte (a)). Conceito: a carga tem potência aparente S, o fator de potência \mathrm{PF}=\cos\varphi relaciona potência ativa P e reativa Q:
P=S\cdot\mathrm{PF},\qquad Q=S\cdot\sin\varphi,
onde \varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{PF}).
Cálculos:
P=5000\cdot0{,}55=2750\\ \mathrm{W}.
Calculo do ângulo:
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}55)\approx56{,}63^\circ.
Calculo de \sin\varphi (útil para Q):
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}55^2}=\sqrt{1-0{,}3025}=\sqrt{0{,}6975}\approx0{,}8354.
Portanto
Q=5000\cdot0{,}8354\approx4177{,}1\\ \mathrm{var}.
Interpretação: a carga consome P=2750\\ \mathrm{W} de potência ativa e Q\approx4177{,}1\\ \mathrm{var} de potência reativa (indutiva).

Passo 4

Corrente consumida e ângulo de fase (parte (b)). Conceito: corrente eficaz é dada por I=\dfrac{S}{V} para circuito monofásico, e a fase da corrente é atrasada em \varphi quando a carga é indutiva.
Cálculo da corrente:
I=\frac{S}{V}=\frac{5000}{220}\approx22{,}7273\\ \mathrm{A}.
Ângulo entre tensão e corrente:
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}55)\approx56{,}63^\circ.
Interpretação: a corrente tem módulo I\approx22{,}73\\ \mathrm{A} e está atrasada em 56{,}63^\circ em relação à tensão (corrente em atraso).

Passo 5

Queda de tensão nos condutores (parte (c)). Conceito: a queda de tensão é a tensão no trecho devido à impedância do cabo e à corrente. Em forma fasorial:
\underline{V}_{\text{queda}}=\underline{I}\cdot Z_{\text{total}},
onde \underline{I}=I\angle(-\varphi) (atrasada) e Z_{\text{total}}=R_{\text{total}}+jX_{\text{total}}.
Primeiro, encontro o módulo e ângulo de Z_{\text{total}}:
Z_{\text{total}}=0{,}219+j0{,}013,\qquad |Z_{\text{total}}|=\sqrt{0{,}219^2+0{,}013^2}\approx0{,}2194\\ \Omega,
\theta_Z=\arctan\!\left(\frac{0{,}013}{0{,}219}\right)\approx3{,}40^\circ.
Fácil cálculo aproximado do módulo da queda:
|\underline{V}_{\text{queda}}|=I\cdot|Z_{\text{total}}|\approx22{,}7273\cdot0{,}2194\approx4{,}99\\ \mathrm{V}.
Mas é didático calcular a queda em forma retangular para ver componentes real e imaginária (útil para a tensão resultante na carga). Usando expansão:
\underline{I}=I(\cos\varphi - j\sin\varphi)
e
\underline{V}_{\text{queda}}=\underline{I}(R_{\text{total}}+jX_{\text{total}}).
Cálculo das componentes (passo a passo):
\text{Re}\{\underline{V}_{\text{queda}}\}=I\,(R_{\text{total}}\cos\varphi + X_{\text{total}}\sin\varphi),
\text{Im}\{\underline{V}_{\text{queda}}\}=I\,(-R_{\text{total}}\sin\varphi + X_{\text{total}}\cos\varphi).
Substituindo números:
R_{\text{total}}\cos\varphi=0{,}219\cdot0{,}55=0{,}12045, \quad X_{\text{total}}\sin\varphi=0{,}013\cdot0{,}8354\approx0{,}01086,
\text{Re}\{\underline{V}_{\text{queda}}\}=22{,}7273\cdot(0{,}12045+0{,}01086)\approx22{,}7273\cdot0{,}13131\approx2{,}984\\ \mathrm{V},
-R_{\text{total}}\sin\varphi=-0{,}219\cdot0{,}8354\approx-0{,}18295, \quad X_{\text{total}}\cos\varphi=0{,}013\cdot0{,}55=0{,}00715,
\text{Im}\{\underline{V}_{\text{queda}}\}=22{,}7273\cdot(-0{,}18295+0{,}00715)\approx22{,}7273\cdot(-0{,}17580)\approx-3{,}993\\ \mathrm{V}.
Portanto:
\underline{V}_{\text{queda}}\approx2{,}984 - j3{,}993\\ \mathrm{V},
|\underline{V}_{\text{queda}}|\approx\sqrt{2{,}984^2+3{,}993^2}\approx4{,}99\\ \mathrm{V}.
Percentual relativo à tensão de 220 V:
\frac{|\underline{V}_{\text{queda}}|}{220}\times100\%\approx\frac{4{,}99}{220}\times100\%\approx2{,}27\%.
Observação: a queda vetorial é de \approx4{,}99\\ \mathrm{V} (módulo), representada por componentes real e imaginária acima.

Passo 6

Tensão real na carga (parte (d)). Conceito: tensão na carga é a tensão da fonte menos a queda nos condutores em forma fasorial:
\underline{V}_{\text{carga}}=\underline{V}_{\text{fonte}}-\underline{V}_{\text{queda}}.
Escolho referência \underline{V}_{\text{fonte}}=220\angle0^\circ=220+ j0.
Subtração:
\underline{V}_{\text{carga}}=(220+ j0)-(2{,}984 - j3{,}993)=217{,}016 + j3{,}993\\ \mathrm{V}.
Módulo e ângulo:
|\underline{V}_{\text{carga}}|=\sqrt{217{,}016^2+3{,}993^2}\approx217{,}14\\ \mathrm{V},
\angle \underline{V}_{\text{carga}}=\arctan\!\left(\frac{3{,}993}{217{,}016}\right)\approx1{,}06^\circ.
Interpretação: a tensão eficaz na carga fica em torno de 217{,}14\\ \mathrm{V} (um pouco abaixo dos 220\\ \mathrm{V}), com pequeno desfasamento.
Comentário adicional sobre queda percentual “prática”: se comparar tensões em módulo, a redução percentual é
\frac{220-217{,}14}{220}\times100\%\approx1{,}30\%.
Note que a diferença entre esse 1{,}30\% e os 2{,}27\% da queda de cabo vem do fato de que a queda vetorial se soma no domínio fasorial (vetorial) e a magnitude resultante da tensão na carga não é simplesmente 220-|\underline{V}_{\text{queda}}|.

Passo 7

Potência ativa perdida na rede (parte (e)). Conceito: perdas resistivas (em W) são dadas por P_{\text{perda}}=I^2 R_{\text{total}} (a reatância não dissipa potência ativa).
Cálculo:
I^2=(22{,}7273)^2\approx516{,}5289\\ \mathrm{A}^2,
P_{\text{perda}}=I^2\cdot R_{\text{total}}\approx516{,}5289\cdot0{,}219\approx113{,}11\\ \mathrm{W}.
Portanto as perdas ativas na rede são aproximadamente 113{,}1\\ \mathrm{W}.
Comentário prático: isso é cerca de 113{,}1/2750\approx4{,}11\% em relação à potência ativa consumida pela carga.

Passo 8

Corrente de projeto e corrente do disjuntor com fator de segurança de 10\% (parte (f)).
  • Corrente de projeto (aplicando fator de segurança):
I_{\text{projeto}}=I\cdot(1+0{,}10)=22{,}7273\cdot1{,}10=25{,}000\\ \mathrm{A}.
Explicação sobre escolha do disjuntor (prática): a corrente nominal comercial do disjuntor deve ser igual ou imediatamente superior à corrente de projeto. Existem curvas padrão (20 A, 25 A, 32 A, 40 A, …). Como I_{\text{projeto}}=25{,}0\\ \mathrm{A}, existem duas opções razoáveis:
  • Usar um disjuntor nominal de 25\\ \mathrm{A} (se disponível e se as correntes de partida da carga permitirem), ou
  • Escolher o próximo padrão superior, normalmente 32\\ \mathrm{A}, para evitar disparos indesejáveis em picos de partida (prática comum em instalação industrial).
Recomendação: selecionar um disjuntor industrial de 32\\ \mathrm{A} (proteção magnética/termo-magnética adequada) é prudente, a não ser que se saiba que a carga tem correntes de partida muito baixas e deseje um corte mais próximo do projeto (então 25\\ \mathrm{A} também seria aceitável).

Resposta

a) P=2750\\ \mathrm{W},\quad Q\approx4177{,}1\\ \mathrm{var}.
b) I\approx22{,}73\\ \mathrm{A},\quad \varphi\approx56{,}63^\circ (corrente em atraso).
c) Queda nos condutores \underline{V}_{\text{queda}}\approx2{,}984 - j3{,}993\\ \mathrm{V}, |\underline{V}_{\text{queda}}|\approx4{,}99\\ \mathrm{V} ( \approx2{,}27\% de 220\\ \mathrm{V}).
d) Tensão na carga \underline{V}_{\text{carga}}\approx217{,}016 + j3{,}993\\ \mathrm{V}, |\underline{V}_{\text{carga}}|\approx217{,}14\\ \mathrm{V} (ângulo \approx1{,}06^\circ).
e) Potência ativa perdida na rede P_{\text{perda}}\approx113{,}11\\ \mathrm{W}.
f) Corrente de projeto I_{\text{projeto}}=25{,}0\\ \mathrm{A}. Disjuntor recomendado: 32\\ \mathrm{A} (ou, se preferir exatamente o valor projetado e tiver controle de partidas, pode-se usar 25\\ \mathrm{A}).

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