Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas: A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu reduza cada uma das três matrizes à forma escada reduzida por linha (RREF), e que eu calcule o posto (rank) e a nulidade (nullity) de cada uma. As matrizes dadas são:
A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & -1 \\[2pt] 2 & -1 & 2 & 3 \\[2pt] 3 & 1 & 2 & 3\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 3 & -2 \\[2pt] 2 & 1 & -4 & 3 \\[2pt] 2 & 3 & 2 & -1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}0 & 2 & 2 \\[2pt] 1 & 1 & 3 \\[2pt] 3 & -4 & 2 \\[2pt] 2 & -3 & 1\end{bmatrix}.
Informações relevantes que eu vou usar:
  • Em cada matriz devo aplicar operações elementares por linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma escada reduzida por linha.
  • O posto (rank) é o número de pivôs (linhas não nulas / colunas com 1 principal) na RREF.
  • A nulidade (nullity) é a dimensão do núcleo: \text{nullity} = \text{número de colunas} - \text{rank}ú.
    Não vou resolver nada aqui ainda; a resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Conceitos rápidos e método que usarei (explicação didática antes de aplicar):
  • Uma operação elementar por linha não altera o espaço linha gerado pela matriz (ou seja, não altera o posto).
  • Na redução a RREF eu procuro, para cada linha, um pivô que seja o primeiro coeficiente não nulo da linha (de preferência 1). Esse pivô deve ser o único coeficiente não nulo na sua coluna (zerar acima e abaixo dele).
  • Variáveis correspondentes às colunas que não possuem pivô na RREF são as variáveis livres; o número delas é a nulidade.
    Vou aplicar esse procedimento de forma explícita passo a passo em cada matriz.

Passo 3

Redução da matriz A.
Começo com
A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & -1 \\[2pt] 2 & -1 & 2 & 3 \\[2pt] 3 & 1 & 2 & 3\end{bmatrix}.
  1. Uso R_1 como pivô na coluna 1 (já é 1). Elimino abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2 = [2,-1,2,3] - 2[1,-2,3,-1] = [0,3,-4,5].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3 = [3,1,2,3] - 3[1,-2,3,-1] = [0,7,-7,6].
Agora a matriz é
\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[2pt] 0 & 3 & -4 & 5\\[2pt] 0 & 7 & -7 & 6 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Continuo com a coluna 2. Faço R_2 ter pivô 1 dividindo por 3:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2 = [0,1,-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3}].
Elimino nas outras linhas a coluna 2 usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2:
R_1 = [1,-2,3,-1] + 2[0,1,-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3}] = [1,0,\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{3}].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 7R_2:
R_3 = [0,7,-7,6] - 7[0,1,-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3}] = [0,0,\tfrac{7}{3},-\tfrac{17}{3}].
Agora a matriz é
\begin{bmatrix} 1 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{7}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{17}{3} \end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora coluna 3: o terceiro pivô pode ser obtido de R_3. Faço R_3 unidade:
R_3 \leftarrow \tfrac{3}{7}R_3 = [0,0,1,-\tfrac{17}{7}].
Elimino a coluna 3 nas linhas acima:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{3}R_3:
R_1 = [1,0,\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{3}] - \tfrac{1}{3}[0,0,1,-\tfrac{17}{7}] = [1,0,0,\tfrac{22}{7}].
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{4}{3}R_3:
R_2 = [0,1,-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3}] + \tfrac{4}{3}[0,0,1,-\tfrac{17}{7}] = [0,1,0,-\tfrac{11}{7}].
Portanto a forma escada reduzida por linha (RREF) de A é
\boxed{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{22}{7}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{11}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{17}{7} \end{bmatrix}.}]

Passo 6

Interpretação da RREF de A para posto e nulidade (explicação didática):
  • Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, ou seja, três pivôs.
  • Logo \text{rank}(A)= número de pivôs = \; \(\,3\,).
  • A matriz A tem 4 colunas, então \text{nullity}(A)= número de colunas - rank = 4 - 3 = \,1\,.
    Como explicação prática: uma variável livre (a correspondente à coluna 4) gera o núcleo; pode-se tomar x_4=t e obter um vetor não-nulo solução proporcional a [-22,11,17,7] (multiplicando por 7 para eliminar denominadores), mas a questão pediu apenas rank e nulidade.

Passo 7

Redução da matriz B.
Começo com
B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 3 & -2 \\[2pt] 2 & 1 & -4 & 3 \\[2pt] 2 & 3 & 2 & -1\end{bmatrix}.
Para ter pivô na primeira coluna, troco R_1 com R_2 (troca de linhas):
\begin{bmatrix} 2 & 1 & -4 & 3\\[2pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[2pt] 2 & 3 & 2 & -1 \end{bmatrix}.
Faço R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 = [1,\tfrac{1}{2},-2,\tfrac{3}{2}].]

Passo 8

Elimino abaixo o primeiro pivô:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3 = [2,3,2,-1] - 2[1,\tfrac{1}{2},-2,\tfrac{3}{2}] = [0,2,6,-4].
A matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & -2 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 6 & -4 \end{bmatrix}.]

Passo 9

Agora uso R_2=[0,1,3,-2] como pivô na coluna 2. Elimino acima e abaixo:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2:
R_1 = [1,\tfrac{1}{2},-2,\tfrac{3}{2}] - \tfrac{1}{2}[0,1,3,-2] = [1,0,-\tfrac{7}{2},\tfrac{5}{2}].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2:
R_3 = [0,2,6,-4] - 2[0,1,3,-2] = [0,0,0,0].
Então a matriz está na forma
\boxed{\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.}
Isto é a RREF de B (os pivôs são as entradas 1 em colunas 1 e 2; as demais colunas correspondem a variáveis livres).]

Passo 10

Interpretação da RREF de B:
  • Há pivôs nas colunas 1 e 2 \Rightarrow \text{rank}(B)=\; \(\,2\,).
  • Número de colunas é 4, então \text{nullity}(B)=4-2=\; \(\,2\,).
    Significado prático: há duas variáveis livres (colunas 3 e 4), então o núcleo tem dimensão 2.

Passo 11

Redução da matriz C.
Começo com
C=\begin{bmatrix}0 & 2 & 2 \\[2pt] 1 & 1 & 3 \\[2pt] 3 & -4 & 2 \\[2pt] 2 & -3 & 1\end{bmatrix}.
Para ter pivô na primeira coluna, troco R_1 com R_2:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\[2pt] 0 & 2 & 2\\[2pt] 3 & -4 & 2\\[2pt] 2 & -3 & 1 \end{bmatrix}.
Elimino abaixo usando R_1:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3 = [3,-4,2] - 3[1,1,3] = [0,-7,-7].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1:
R_4 = [2,-3,1] - 2[1,1,3] = [0,-5,-5].
Matriz atual:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -7 & -7\\[4pt] 0 & -5 & -5 \end{bmatrix}.]

Passo 12

Agora pivô na coluna 2: uso R_2=[0,2,2]. Primeiro faço R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2 = [0,1,1].
Elimino acima e abaixo:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
R_1 = [1,1,3] - [0,1,1] = [1,0,2].
  • R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2:
R_3 = [0,-7,-7] + 7[0,1,1] = [0,0,0].
  • R_4 \leftarrow R_4 + 5R_2:
R_4 = [0,-5,-5] + 5[0,1,1] = [0,0,0].
A matriz fica
\boxed{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.}
Isto é a RREF de C.]

Passo 13

Interpretação da RREF de C:
  • Há pivôs nas colunas 1 e 2 \Rightarrow \text{rank}\text{(C)}=\; \(\,2\,).
  • A matriz C tem 3 colunas, então \text{nullity}\text{(C)}=3-2=\; \(\,1\,).
    Significado prático: existe uma única variável livre (a coluna 3), então o núcleo tem dimensão 1; por exemplo, tomando x_3=t obtemos x_1=-2t,\;x_2=-t, núcleo gerado pelo vetor [-2,-1,1].

Resposta

\text{RREF}(A)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{22}{7}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{11}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{17}{7} \end{bmatrix},\quad \text{rank}(A)=3,\quad \text{nullity}(A)=1
\text{RREF}(B)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \text{rank}(B)=2,\quad \text{nullity}(B)=2
\text{RREF}\text{(C)}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \text{rank}\text{(C)}=2,\quad \text{nullity}\text{(C)}=1]

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