Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas: A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que eu reduza cada uma das três matrizes à forma escada reduzida por linha (RREF), e que eu calcule o posto (rank) e a nulidade (nullity) de cada uma. As matrizes dadas são:
Em cada matriz devo aplicar operações elementares por linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma escada reduzida por linha.
O posto (rank) é o número de pivôs (linhas não nulas / colunas com 1 principal) na RREF.
A nulidade (nullity) é a dimensão do núcleo: \text{nullity} = \text{número de colunas} - \text{rank}ú.
Não vou resolver nada aqui ainda; a resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Conceitos rápidos e método que usarei (explicação didática antes de aplicar):
Uma operação elementar por linha não altera o espaço linha gerado pela matriz (ou seja, não altera o posto).
Na redução a RREF eu procuro, para cada linha, um pivô que seja o primeiro coeficiente não nulo da linha (de preferência 1). Esse pivô deve ser o único coeficiente não nulo na sua coluna (zerar acima e abaixo dele).
Variáveis correspondentes às colunas que não possuem pivô na RREF são as variáveis livres; o número delas é a nulidade.
Vou aplicar esse procedimento de forma explícita passo a passo em cada matriz.
Interpretação da RREF de A para posto e nulidade (explicação didática):
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, ou seja, três pivôs.
Logo \text{rank}(A)= número de pivôs = \; \(\,3\,).
A matriz A tem 4 colunas, então \text{nullity}(A)= número de colunas - rank = 4 - 3 =\,1\,.
Como explicação prática: uma variável livre (a correspondente à coluna 4) gera o núcleo; pode-se tomar x_4=t e obter um vetor não-nulo solução proporcional a [-22,11,17,7] (multiplicando por 7 para eliminar denominadores), mas a questão pediu apenas rank e nulidade.
Isto é a RREF de B (os pivôs são as entradas 1 em colunas 1 e 2; as demais colunas correspondem a variáveis livres).]
Passo 10
Interpretação da RREF de B:
Há pivôs nas colunas 1 e 2\Rightarrow\text{rank}(B)=\; \(\,2\,).
Número de colunas é 4, então \text{nullity}(B)=4-2=\; \(\,2\,).
Significado prático: há duas variáveis livres (colunas 3 e 4), então o núcleo tem dimensão 2.
Há pivôs nas colunas 1 e 2\Rightarrow\text{rank}\text{(C)}=\; \(\,2\,).
A matriz C tem 3 colunas, então \text{nullity}\text{(C)}=3-2=\; \(\,1\,).
Significado prático: existe uma única variável livre (a coluna 3), então o núcleo tem dimensão 1; por exemplo, tomando x_3=t obtemos x_1=-2t,\;x_2=-t, núcleo gerado pelo vetor [-2,-1,1].