Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
20 \% dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
15 \% apresentam excesso de umidade;
5 \% apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas de qualidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • 20\% dos lotes apresentam teor de enxofre acima do permitido.
  • 15\% dos lotes apresentam excesso de umidade.
  • 5\% dos lotes apresentam simultaneamente os dois problemas.
  • (Informações adicionais não usadas na pergunta pedida: número médio de falhas em sensores e distribuição da viscosidade.)
Pergunta:
  • Qual a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas de qualidade?

Passo 2

Definir eventos (para ficar claro):
  • Seja S o evento “lote com teor de enxofre acima do permitido”.
  • Seja U o evento “lote com excesso de umidade”.
As probabilidades dadas (peguei estes valores do enunciado) são:
P(S)=0,20,\qquad P(U)=0,15,\qquad P(S\cap U)=0,05.
O evento “pelo menos um dos problemas” corresponde à união dos eventos S e U, isto é S\cup U. Logo queremos calcular P(S\cup U).

Passo 3

Fórmula que vamos usar (princípio da adição para duas probabilidades):
P(S\cup U)=P(S)+P(U)-P(S\cap U).
O porquê dessa fórmula, explicado de forma simples e intuitiva:
  • P(S)+P(U) soma as probabilidades dos dois problemas individuais.
  • Mas os lotes que têm os dois problemas (a interseção S\cap U) foram contados duas vezes nessa soma, por isso é preciso subtrair P(S\cap U) uma vez para corrigir a double-contagem.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados (substituí os valores que peguei do enunciado):
P(S\cup U)=0,20+0,15-0,05.
Fazendo a conta passo a passo:
0,20+0,15=0,35,
0,35-0,05=0,30.
Portanto a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas é 0,30, ou seja 30\% (também pode ser escrita como a fração \tfrac{3}{10}).

Passo 5

Uma dica prática para a prova (extensão útil): se depois quiser trabalhar com os 10 lotes selecionados, a variável aleatória “número de lotes entre 10 que apresentam pelo menos um problema” segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,30. Ou seja, se X é esse número,
P(X=k)=\binom{10}{k}\,0,30^{\,k}\,0,70^{\,10-k},
onde k=0,1,\dots,10, \binom{10}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher k lotes entre 10).
Exemplo rápido: a probabilidade de que nenhum dos 10 lotes tenha problema é 0,70^{10}, então a probabilidade de que haja pelo menos um lote com problema entre os 10 é 1-0,70^{10}.

Resposta

0,30

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