Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
apresentam excesso de umidade;
apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas de qualidade?
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas de qualidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
Dados fornecidos:
-
dos lotes apresentam teor de enxofre acima do permitido. -
dos lotes apresentam excesso de umidade. -
dos lotes apresentam simultaneamente os dois problemas. - (Informações adicionais não usadas na pergunta pedida: número médio de falhas em sensores e distribuição da viscosidade.)
Pergunta:
- Qual a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas de qualidade?
Passo 2
Definir eventos (para ficar claro):
- Seja
o evento “lote com teor de enxofre acima do permitido”. - Seja
o evento “lote com excesso de umidade”.
As probabilidades dadas (peguei estes valores do enunciado) são:
O evento “pelo menos um dos problemas” corresponde à união dos eventos
e
, isto é
. Logo queremos calcular
.
Passo 3
Fórmula que vamos usar (princípio da adição para duas probabilidades):
O porquê dessa fórmula, explicado de forma simples e intuitiva:
-
soma as probabilidades dos dois problemas individuais. - Mas os lotes que têm os dois problemas (a interseção
) foram contados duas vezes nessa soma, por isso é preciso subtrair uma vez para corrigir a double-contagem.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados (substituí os valores que peguei do enunciado):
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto a probabilidade de um lote apresentar pelo menos um dos problemas é
, ou seja
(também pode ser escrita como a fração
).
Passo 5
Uma dica prática para a prova (extensão útil): se depois quiser trabalhar com os 10 lotes selecionados, a variável aleatória “número de lotes entre 10 que apresentam pelo menos um problema” segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Ou seja, se
é esse número,
onde
,
é o coeficiente binomial (número de formas de escolher
lotes entre 10).
Exemplo rápido: a probabilidade de que nenhum dos 10 lotes tenha problema é , então a probabilidade de que haja pelo menos um lote com problema entre os 10 é
.
Exemplo rápido: a probabilidade de que nenhum dos 10 lotes tenha problema é