Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
20 \% dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
15 \% apresentam excesso de umidade;
5 \% apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de exatamente 2 dos 10 lotes apresentarem teor de enxofre acima do permitido?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (todas relevantes para a pergunta):
  • A proporção (probabilidade) de lotes que apresentam teor de enxofre acima do permitido é de 20\%. Em notação de probabilidade, isso é p=0,20.
  • A inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Em notação, o tamanho da amostra é n=10.
  • A pergunta específica: qual a probabilidade de exatamente 2 dos 10 lotes apresentarem teor de enxofre acima do permitido?
  • Há outras informações no enunciado (ex.: excesso de umidade 15\%, simultaneidade 5\%, falhas em sensores, distribuição da viscosidade) que não são necessárias para responder esta pergunta específica, que trata apenas da ocorrência do problema de teor de enxofre.

Passo 2

Por que modelar assim e qual fórmula usar (aula rápida e prática)?
  • Cada lote pode ser classificado como “tem problema de enxofre” (sucesso) ou “não tem” (fracasso). Assim, cada lote é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso p=0,20.
  • Selecionaram-se n=10 ensaios independentes com mesma probabilidade p. Esse é exatamente o cenário da distribuição binomial.
  • A variável aleatória X = número de lotes com teor de enxofre acima do permitido segue a distribuição binomial com parâmetros n e p: \;X \sim \text{Binomial}(n,p)\;.
  • A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios;
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrer k sucessos;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de ocorrer n-k fracassos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso pedido ( n=10, p=0,20, k=2):
  • Calcular \binom{10}{2}:
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
  • Calcular p^{2}:
p^{2}=(0,20)^{2}=0,04.
  • Calcular (1-p)^{8}:
(1-p)^{8}=(0,80)^{8}.
Para facilitar, computa-se passo a passo:
0,80^{2}=0,64, \qquad 0,80^{4}=0,64^{2}=0,4096, \qquad 0,80^{8}=0,4096^{2}=0,16777216.
  • Agora multiplicar os fatores:
P(X=2)=45\cdot 0,04\cdot 0,16777216.
Primeiro 45\cdot 0,04=1,8. Depois
1,8\cdot 0,16777216=0,301989888.

Passo 4

Interpretação e arredondamento final:
  • A probabilidade exata calculada é \;0,301989888\;.
  • Arredondando para três casas decimais fica aproximadamente \;0,302\;.
  • Interpretação em palavras: há cerca de 30{,}2\% de chance de exatamente 2 dos 10 lotes selecionados apresentarem teor de enxofre acima do permitido. Vai dar certo — é só aplicar essa receita rápida em questões similares na prova!

Resposta

0,302

Exercícios relacionados