Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
20 \% dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
15 \% apresentam excesso de umidade;
5 \% apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 falhas de sensores em um dia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda):
  • Foi informado que o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3.
  • Há outras informações sobre lotes, umidade e viscosidade — são dados do enunciado, mas não são necessários para a pergunta específica.
  • A pergunta que precisamos responder é: qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 falhas de sensores em um dia?

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (explicação didática do conceito que vamos usar).
Quando contamos o número de ocorrências de um tipo de evento (aqui: falhas de sensores) em um intervalo de tempo fixo (um dia), e sabemos a média dessas ocorrências por intervalo e as ocorrências são raras/independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Essa distribuição dá a probabilidade de exatamente k ocorrências ocorrerem num intervalo, sabendo-se a média \lambda.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de ocorrências no intervalo (aqui: número de falhas no dia),
  • \lambda é o valor esperado (média) de ocorrências por intervalo (aqui \lambda=3),
  • k é o número específico de ocorrências cujo valor queremos a probabilidade (aqui k=5),
  • e é a constante de Euler ( e\approx2{,}71828\ldots),
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1).
Comentários práticos: se na prova não for permitido calculadora, geralmente deixa-se a resposta na forma \dfrac{e^{-3}3^{5}}{5!}. Se for permitido, calcula-se numericamente.

Passo 3

Aplicar a fórmula com \lambda=3 e k=5. Escrevendo a expressão:
P(X=5)=\frac{e^{-3}\,3^{5}}{5!}.

Passo 4

Calcular passo a passo os componentes numéricos (tudo em conta manual possível):
  • Calcular 3^{5}:
3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243.
  • Calcular 5!:
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
  • Então a fração fica:
\frac{3^{5}}{5!}=\frac{243}{120}=2{,}025.

Passo 5

Avaliar e^{-3} e multiplicar para obter a probabilidade numérica.
  • Se deixar em forma exata, a resposta é \dfrac{e^{-3}\,3^{5}}{5!}.
  • Para obter um valor numérico aproximado, usamos e^{-3}\approx0{,}0497870684. Agora multiplicamos:
P(X=5)=e^{-3}\times2{,}025.
Fazendo a multiplicação por partes (para entender como fazer à mão):
2{,}025\cdot0{,}0497870684 = 2\cdot0{,}0497870684 + 0{,}025\cdot0{,}0497870684.
Calcule cada parte:
2\cdot0{,}0497870684 = 0{,}0995741368,
0{,}025\cdot0{,}0497870684 = 0{,}0012446767.
Somando:
0{,}0995741368 + 0{,}0012446767 = 0{,}1008188135\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação e conclusão final (estímulo):
A probabilidade de exatamente 5 falhas de sensores num dia, quando a média é 3 falhas por dia, é cerca de 0{,}10082, ou seja, aproximadamente 10{,}08\%. Tá bom — a conta principal é aplicar a Poisson e depois avaliar numericamente; agora você consegue reproduzir isso rápido na prova.

Resposta

P(X=5)=\dfrac{e^{-3}\,3^{5}}{5!}\approx0{,}1008188135\approx10{,}08\%

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