Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
apresentam excesso de umidade;
apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 falhas de sensores em um dia?
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 falhas de sensores em um dia?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda):
- Foi informado que o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a
. - Há outras informações sobre lotes, umidade e viscosidade — são dados do enunciado, mas não são necessários para a pergunta específica.
- A pergunta que precisamos responder é: qual a probabilidade de ocorrerem exatamente
falhas de sensores em um dia?
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa (explicação didática do conceito que vamos usar).
Quando contamos o número de ocorrências de um tipo de evento (aqui: falhas de sensores) em um intervalo de tempo fixo (um dia), e sabemos a média dessas ocorrências por intervalo e as ocorrências são raras/independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Essa distribuição dá a probabilidade de exatamente ocorrências ocorrerem num intervalo, sabendo-se a média
.
Quando contamos o número de ocorrências de um tipo de evento (aqui: falhas de sensores) em um intervalo de tempo fixo (um dia), e sabemos a média dessas ocorrências por intervalo e as ocorrências são raras/independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Essa distribuição dá a probabilidade de exatamente
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de ocorrências no intervalo (aqui: número de falhas no dia), -
é o valor esperado (média) de ocorrências por intervalo (aqui ), -
é o número específico de ocorrências cujo valor queremos a probabilidade (aqui ), -
é a constante de Euler ( ), -
é o fatorial de (por exemplo ).
Comentários práticos: se na prova não for permitido calculadora, geralmente deixa-se a resposta na forma
. Se for permitido, calcula-se numericamente.
Passo 3
Aplicar a fórmula com
e
. Escrevendo a expressão:
Passo 4
Calcular passo a passo os componentes numéricos (tudo em conta manual possível):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Então a fração fica:
Passo 5
Avaliar
e multiplicar para obter a probabilidade numérica.
- Se deixar em forma exata, a resposta é
. - Para obter um valor numérico aproximado, usamos
. Agora multiplicamos:
Fazendo a multiplicação por partes (para entender como fazer à mão):
Calcule cada parte:
Somando:
Passo 6
Interpretação e conclusão final (estímulo):
A probabilidade de exatamente falhas de sensores num dia, quando a média é
falhas por dia, é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Tá bom — a conta principal é aplicar a Poisson e depois avaliar numericamente; agora você consegue reproduzir isso rápido na prova.
A probabilidade de exatamente