Em uma refinaria de controle de qualidade em uma indústria petroquímica, verificou-se que:
20 \% dos lotes de combustível apresentam teor de enxofre acima do permitido;
15 \% apresentam excesso de umidade;
5 \% apresentam simultaneamente os dois problemas.
Além disso:
o número médio de falhas em sensores de pressão por dia é igual a 3;
a viscosidade do combustível produzido segue distribuição normal com média de 42 cP e desvio padrão de 4 cP .
Uma inspeção seleciona 10 lotes aleatoriamente. Pergunta-se:
Qual a probabilidade de um lote apresentar viscosidade superior a 48 cP ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados relevantes (vou listar tudo para ficar claro):
  • A viscosidade do combustível segue distribuição normal com média \mu=42 cP e desvio padrão \sigma=4 cP.
  • A inspeção seleciona 10 lotes, mas a pergunta pedida aqui é apenas: “Qual a probabilidade de um lote apresentar viscosidade superior a \,48 cP?”.
    Portanto, queremos calcular a probabilidade para uma única observação da variável aleatória de viscosidade.

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático):
  • Quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos \,X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Para calcular probabilidades como P(X>a) é muito prático transformar X em uma variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1.
  • A fórmula de padronização (ou “standardização”) é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada símbolo significa:
  • X: variável original (viscosidade),
  • \mu: média de X (aqui \mu=42 cP),
  • \sigma: desvio padrão de X (aqui \sigma=4 cP),
  • Z: variável normal padrão com distribuição N(0,1).
  • Usando essa transformação, probabilidades da forma P(X>a) viram P\big(Z>\dfrac{a-\mu}{\sigma}\big). Em uma prova isso permite consultar tabelas de Z (tabela da normal padrão) ou usar calculadora/PC.

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso número:
a=48,\qquad \mu=42,\qquad \sigma=4.
Calcule o escore z:
z=\frac{48-42}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5.
Portanto
P(X>48)=P\!\left(Z>1{,}5\right).

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora) para Z:
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Então P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
  • Consultando a tabela ou calculadora: \Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319.
  • Logo
P(X>48)=1-\Phi(1{,}5)\approx 1-0{,}93319=0{,}06681.
Em porcentagem isso é aproximadamente 6{,}681\%. Em provas costuma-se arredondar para 0{,}0668 ou 6{,}68\%.

Passo 5

Dica prática para a prova:
  • Passe sempre por esses passos rápidos: identifique \mu e \sigma, padronize com z=(a-\mu)/\sigma, consulte \Phi(z) na tabela ou use a calculadora e faça 1-\Phi(z).
  • Memorizar alguns valores comuns pode acelerar: por exemplo \Phi(1{,}28)\approx0{,}90, \Phi(1{,}64)\approx0{,}95, e \Phi(1{,}5)\approx0{,}9332.

Resposta

P(\text{viscosidade}>48\\ \text{cP})\approx 0{,}06681 \approx 6{,}681\%

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