Um resistor com
é conectado com as placas de um capacitor carregado, cuja capacitância é dada por
. Imediatamente antes de a conexão ser feita, a carga no capacitor é igual a
. (a) Qual é a energia armazenada inicialmente no capacitor? (b) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor imediatamente após a conexāo ser feita? (c) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se reduziu à metade do valor calculado no item (a)?
Dica:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números abaixo foram dados no enunciado):
- Resistência:
. - Capacitância:
. - Carga inicial no capacitor imediatamente antes da conexão:
.
O enunciado pergunta:
(a) Qual é a energia armazenada inicialmente no capacitor?
(b) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor imediatamente após a conexão ser feita?
(c) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se reduziu à metade do valor do item (a)?
(a) Qual é a energia armazenada inicialmente no capacitor?
(b) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor imediatamente após a conexão ser feita?
(c) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se reduziu à metade do valor do item (a)?
Dicas/fórmulas que usaremos (fornecidas no enunciado ou usuais para circuitos RC):
- Energia no capacitor em função da carga:
Aqui é a energia (em joules), é a carga (em coulombs) e é a capacitância (em farads). - Corrente de descarga instantânea (dada):
. Em módulo, imediatamente após a conexão a intensidade inicial é . - Potência dissipada no resistor em qualquer instante pode ser calculada por
ou por , onde é a tensão instantânea no capacitor.
Passo 2
(a) Calcular a energia armazenada inicialmente usando
.
Primeiro montar as quantidades em unidades SI:
Calcular
:
Dividir por
:
(Nota: esse resultado é
, porque a fórmula tem o fator
.)
Aplicar o fator
:
Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos):
Passo 3
(b) Potência dissipada imediatamente após a conexão.
Primeiro calcular a corrente inicial em módulo usando
. Vou calcular
e depois a razão.
Calcular
:
Agora a corrente inicial:
Arredondando:
Agora a potência dissipada imediatamente:
.
Arredondando:
Observação de verificação (opcional, cru): pode-se também calcular a tensão inicial no capacitor
e então
; isso dá o mesmo resultado numérico.
Passo 4
(c) Potência no instante em que a energia armazenada caiu à metade de
.
Primeiro relacionar a evolução temporal da carga e da energia num circuito RC em descarga:
- A carga decai exponencialmente:
. - A energia depende de
, então
Queremos o instante
tal que
. Logo
Dessa igualdade obtém-se o fator exponencial no instante pedido:
A potência instantânea no resistor é proporcional a
, e como
temos
Usando
segue:
Portanto a potência no instante pedido é metade da potência inicial calculada no item (b). Numericamente:
(se for desejável, o instante
é
, mas a pergunta pediu a potência nesse instante, não o tempo.)
Passo 5
Resumo rápido e incentivo: deu um pouco de conta com expoentes, mas a ideia chave é lembrar que energia escala com
e, em descarga RC,
decai exponencialmente; isso faz a energia decair com duas vezes a taxa exponencial de
, o que leva à resposta elegante do item (c) (potência metade da inicial quando a energia é metade).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)