Um resistor com R=850 \Omega é conectado com as placas de um capacitor carregado, cuja capacitância é dada por C=4,62 \mu \mathrm{~F}. Imediatamente antes de a conexão ser feita, a carga no capacitor é igual a 8,10 \mathrm{mC}. (a) Qual é a energia armazenada inicialmente no capacitor? (b) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor imediatamente após a conexāo ser feita? (c) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se reduziu à metade do valor calculado no item (a)?
Dica: I=-q /(R C) e U_{C}=1 / 2\left(Q^{2} / C\right).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números abaixo foram dados no enunciado):
  • Resistência: R=850\\ \Omega.
  • Capacitância: C=4{,}62\\ \mu\mathrm{F}=4{,}62\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Carga inicial no capacitor imediatamente antes da conexão: Q_0=8{,}10\\ \mathrm{mC}=8{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
O enunciado pergunta:
(a) Qual é a energia armazenada inicialmente no capacitor?
(b) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor imediatamente após a conexão ser feita?
(c) Qual é a potência elétrica dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se reduziu à metade do valor do item (a)?
Dicas/fórmulas que usaremos (fornecidas no enunciado ou usuais para circuitos RC):
  • Energia no capacitor em função da carga: U_C=\tfrac{1}{2}\,\frac{Q^{2}}{C}.Aqui U_C é a energia (em joules), Q é a carga (em coulombs) e C é a capacitância (em farads).
  • Corrente de descarga instantânea (dada): I=-\dfrac{q}{RC}. Em módulo, imediatamente após a conexão a intensidade inicial é |I_0|=\dfrac{Q_0}{RC}.
  • Potência dissipada no resistor em qualquer instante pode ser calculada por P=I^{2}R ou por P=\dfrac{V^{2}}{R}, onde V é a tensão instantânea no capacitor.

Passo 2

(a) Calcular a energia armazenada inicialmente usando \displaystyle U_C=\tfrac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}.
Primeiro montar as quantidades em unidades SI:
Q_0=8{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\qquad C=4{,}62\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Calcular Q_0^{2}:
Q_0^{2}=(8{,}10\times10^{-3})^{2}=8{,}10^{2}\times10^{-6}=65{,}61\times10^{-6}=6{,}561\times10^{-5}\\ (\mathrm{C}^2).
Dividir por C:
\frac{Q_0^{2}}{C}=\frac{6{,}561\times10^{-5}}{4{,}62\times10^{-6}} =\frac{6{,}561}{4{,}62}\times10^{1} \approx1{,}4197\times10^{1}=14{,}197\\ (\mathrm{J}\!\cdot\!2).
(Nota: esse resultado é 2U_C, porque a fórmula tem o fator 1/2.)
Aplicar o fator 1/2:
U_{C,0}=\tfrac{1}{2}\frac{Q_0^{2}}{C}=\tfrac{1}{2}\times14{,}197\\ \mathrm{J}\approx7{,}0985\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos): U_{C,0}\approx7{,}10\\ \mathrm{J}.

Passo 3

(b) Potência dissipada imediatamente após a conexão.
Primeiro calcular a corrente inicial em módulo usando \displaystyle |I_0|=\frac{Q_0}{RC}. Vou calcular RC e depois a razão.
Calcular RC:
RC=R\cdot C=850\times(4{,}62\times10^{-6})=850\times4{,}62\times10^{-6}=3{,}927\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
Agora a corrente inicial:
|I_0|=\frac{Q_0}{RC}=\frac{8{,}10\times10^{-3}}{3{,}927\times10^{-3}} \approx2{,}0637\\ \mathrm{A}.
Arredondando: \;|I_0|\approx2{,}06\\ \mathrm{A}.
Agora a potência dissipada imediatamente: P_0=I_0^{2}R.
P_0=(2{,}0637)^{2}\times850\approx4{,}2589\times850\approx3{,}620{,}1\\ \mathrm{W}.
Arredondando: P_0\approx3{,}62\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
Observação de verificação (opcional, cru): pode-se também calcular a tensão inicial no capacitor V_0=\dfrac{Q_0}{C} e então P_0=V_0^{2}/R; isso dá o mesmo resultado numérico.

Passo 4

(c) Potência no instante em que a energia armazenada caiu à metade de U_{C,0}.
Primeiro relacionar a evolução temporal da carga e da energia num circuito RC em descarga:
  • A carga decai exponencialmente: \displaystyle Q(t)=Q_0 e^{-t/(RC)}.
  • A energia depende de Q^{2}, então
U_C(t)=\tfrac{1}{2}\frac{Q(t)^{2}}{C}=U_{C,0}\,e^{-2t/(RC)}.
Queremos o instante t tal que U_C(t)=\tfrac{1}{2}U_{C,0}. Logo
U_{C,0}\,e^{-2t/(RC)}=\tfrac{1}{2}U_{C,0}\quad\Rightarrow\quad e^{-2t/(RC)}=\tfrac{1}{2}.
Dessa igualdade obtém-se o fator exponencial no instante pedido:
e^{-2t/(RC)}=\tfrac{1}{2}.
A potência instantânea no resistor é proporcional a I^{2}, e como I(t)=\dfrac{Q(t)}{RC} temos
P(t)=I(t)^{2}R=P_0\,e^{-2t/(RC)}.
Usando e^{-2t/(RC)}=\tfrac{1}{2} segue:
P(t)=P_0\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}P_0.
Portanto a potência no instante pedido é metade da potência inicial calculada no item (b). Numericamente:
P(t)=\tfrac{1}{2}\times3{,}62\times10^{3}\\ \mathrm{W}\approx1{,}81\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
(se for desejável, o instante t é t=\dfrac{RC}{2}\ln 2, mas a pergunta pediu a potência nesse instante, não o tempo.)

Passo 5

Resumo rápido e incentivo: deu um pouco de conta com expoentes, mas a ideia chave é lembrar que energia escala com Q^{2} e, em descarga RC, Q decai exponencialmente; isso faz a energia decair com duas vezes a taxa exponencial de Q, o que leva à resposta elegante do item (c) (potência metade da inicial quando a energia é metade).

Resposta

(a) 7{,}10\\ \mathrm{J}
(b) 3{,}62\times10^{3}\\ \mathrm{W}
(c) 1{,}81\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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