Um resistor de fio enrolado deve ser feito a partir do enrolamento do fio de constatan de 0,2 \mathrm{~mm} de diâmetro em torno de um cilindro com 1 cm de diâmetro. Quantas espiras de fio são necessárias para obter uma resistência de 50 \Omega em temperatura ambiente ( 20^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar quantas espiras de fio são necessárias para obter uma resistência de \,50\\ \Omega quando o fio (de constantan) é enrolado em torno de um cilindro de diâmetro \,1\\ \text{cm} à temperatura ambiente ( 20^\circ\mathrm{C}).
Informações fornecidas no enunciado:
  • Diâmetro do fio: \,0{,}2\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro do cilindro: \,1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Resistência desejada: \,50\\ \Omega.
  • Temperatura: \,20^\circ\mathrm{C}.
Outros dados necessários (valor típico do material, não dado no enunciado):
  • Resistividade do constantan a 20^\circ\mathrm{C}: vou usar \,\rho = 4{,}9\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (valor típico encontrado em tabelas de propriedades do constantan).
Observação importante (assunção que farei):
  • O fio será enrolado em uma única camada, com as espiras justapostas (ou seja, cada volta tem aproximadamente o comprimento de uma circunferência do cilindro e o raio efetivo não varia significativamente). Esta é a hipótese usual para esse tipo de problema.

Passo 2

Fórmula básica que liga resistência, comprimento e área da seção transversal:
R = \rho\,\frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência elétrica (em \Omega),
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}),
  • L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}),
  • A é a área da seção transversal do fio (em \mathrm{m}^2).
Explicando: essa fórmula vem da definição de resistividade e da ideia de que resistência cresce proporcionalmente ao comprimento e diminui com a área da seção.
Queremos L, pois o número de espiras será obtido dividindo o comprimento total pelo comprimento de uma volta (circunferência). Isolando L:
L = \frac{R\,A}{\rho}.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal do fio. O fio é (aproximadamente) cilíndrico, então
A = \pi r_w^2,
onde r_w é o raio do fio.
Converter o diâmetro do fio para metros e obter o raio:
\text{diâmetro do fio } d_w = 0{,}2\\ \mathrm{mm} = 0{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m},â
r_w = \frac{d_w}{2} = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Agora a área:
A = \pi (1{,}0\times10^{-4})^2 = \pi \times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2 \approx 3{,}1416\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo do comprimento total L necessário para obter R=50\\ \Omega, usando o valor de \rho do Passo 1 e a área do Passo 3:
L = \frac{R\,A}{\rho} = \frac{50 \times \bigl(\pi\times10^{-8}\bigr)}{4{,}9\times10^{-7}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo as contas passo a passo:
50\cdot\pi\times10^{-8} = 50\pi\times10^{-8} \approx 1{,}5708\times10^{-6},
L \approx \frac{1{,}5708\times10^{-6}}{4{,}9\times10^{-7}} \approx 3{,}21\\ \mathrm{m}.
Interpretação: são necessários aproximadamente \,3{,}21\\ \mathrm{m} de fio para atingir 50\\ \Omega.

Passo 5

Cada espira (uma volta completa) tem comprimento aproximadamente igual à circunferência do cilindro em que o fio é enrolado. A circunferência C do cilindro de diâmetro d_c é:
C = \pi d_c.
Converter o diâmetro do cilindro para metros:
d_c = 1{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
Logo
C = \pi\times0{,}01\\ \mathrm{m} \approx 0{,}031416\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Número de espiras N é o comprimento total dividido pelo comprimento de cada volta:
N = \frac{L}{C}.
Substituindo os valores:
N \approx \frac{3{,}2057\\ \mathrm{m}}{0{,}031416\\ \mathrm{m}} \approx 102{,}0.
Como não se pode ter uma fração de espira completa, na prática serão necessárias 102 espiras completas (ou arredondar para cima se quiser garantir pelo menos 50\\ \Omega, mas o cálculo dá aproximadamente 102).

Passo 7

Comentário final e verificações rápidas (didática e dicas para prova):
  • Verificou-se unidades em metros em todos os passos; isso é crucial: resistividade está em \Omega\cdot\mathrm{m}, então comprimento e área devem estar em \mathrm{m} e \mathrm{m}^2.
  • A hipótese de camada única e espiras justapostas foi usada. Se houvesse empilhamento em várias camadas, o comprimento de cada volta aumentaria levemente (o raio aumentaria) e o cálculo deveria considerar a espessura das camadas.
  • O valor de \rho usado é o típico para constantan a 20^\circ\mathrm{C}. Se a questão especificasse outra composição ou desse outro valor, substituir direto na fórmula do Passo 4.

Resposta

102 espiras.

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