Um resistor, sob ddp de 220 V , dissipa uma potência de 1000 W . Calcule:
(a) sua resistência elétrica;
(b) a potência dissipada, ao ser ligada a uma ddp de 110 V .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Diferença de potencial (ddp) inicial: V=220\\ \mathrm{V}.
    • Potência dissipada sob essa ddp: P=1000\\ \mathrm{W}.
  • O que é pedido:
    • (a) Calcular a resistência elétrica do resistor.
    • (b) Calcular a potência dissipada quando o mesmo resistor é ligado a uma ddp de V'=110\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e entender as fórmulas básicas que usaremos. Vou explicar passo a passo como elas surgem, sem pressa.
  • Definições e leis:
    • A lei de Ohm relaciona tensão, corrente e resistência: V = I\,R,
    onde
    • V é a diferença de potencial (em volts, \mathrm{V}),
    • I é a corrente elétrica (em ampères, \mathrm{A}),
    • R é a resistência elétrica (em ohms, \Omega).
    • A potência elétrica (taxa de dissipação de energia) que um elemento elétrico dissipa é dada por: P = V\,I,
    onde P é a potência (em watts, \mathrm{W}).
  • Combinar as duas fórmulas para eliminar a corrente I:
    • Das duas equações, escrevendo I a partir da lei de Ohm: I = \frac{V}{R}.
    • Substituindo em P = V I obtemos: P = V\left(\frac{V}{R}\right) = \frac{V^{2}}{R}.
    • Essa fórmula \;P=\dfrac{V^{2}}{R}\; é muito útil quando conhecemos V e R ou quando conhecemos V e P e queremos R.
  • Isolar R quando conhecemos P e V:
    • A partir de \;P=\dfrac{V^{2}}{R}\; isolamos R: R = \frac{V^{2}}{P}.
    • Aqui R terá unidades de \Omega, porque \dfrac{\mathrm{V}^{2}}{\mathrm{W}}=\Omega (justificação por unidades: 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{V}\cdot1\\ \mathrm{A} e 1\\ \Omega=1\\ \mathrm{V}/1\\ \mathrm{A}).

Passo 3

Calcular a resistência usando \;R=\dfrac{V^{2}}{P}\; com os valores dados.
  • Substituindo V=220\\ \mathrm{V} e P=1000\\ \mathrm{W}: R = \frac{(220)^{2}}{1000}.
  • Calcular passo a passo:
    • Primeiro 220^{2}=220\times220=48400.
    • Então R = \frac{48400}{1000}=48,4.
  • Resultado parcial e unidade: R=48,4\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a potência dissipada quando a ddp é V'=110\\ \mathrm{V}. Usamos \;P'=\dfrac{{V'}^{2}}{R}\; e o R que já encontramos.
  • Substituindo V'=110\\ \mathrm{V} e R=48,4\\ \Omega: P'=\frac{(110)^{2}}{48,4}.
  • Calcular passo a passo:
    • Primeiro 110^{2}=110\times110=12100.
    • Então P'=\frac{12100}{48,4}.
    • Para facilitar a divisão, multiplica-se numerador e denominador por 10: P'=\frac{121000}{484}.
    • Agora divide-se: 484\times250=121000, logo P'=250.
  • Unidade: P'=250\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação rápida (útil para prova): como 110\\ \mathrm{V} é a metade de 220\\ \mathrm{V}, a potência, que depende de V^{2}, fica (1/2)^{2}=1/4 da original. Assim 1000\\ \mathrm{W} passa a 1000/4=250\\ \mathrm{W}. É uma verificação rápida que confirma o resultado calculado.

Resposta

(a) R=48,4\\ \Omega
(b) P'=250\\ \mathrm{W}

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