Resolva:
b) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A crescente. Mostre que a razão da progressão é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo.
b) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A crescente. Mostre que a razão da progressão é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou organizar direitinho para não se perder):
- É dado um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética (P.A.) em ordem crescente.
- Isso significa que existem números reais positivos
(termo central) e (a razão da P.A.) tais que os comprimentos dos lados, do menor para o maior, são
- Como é triângulo retângulo, o maior desses lados é a hipotenusa.
- O que se pede: mostrar que a razão da P.A., isto é
, é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo (o incentro), ou seja, provar que
Passo 2
Usar o teorema de Pitágoras (porque é um triângulo retângulo): a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Com as medidas acima temos
Agora vou desenvolver essa equação passo a passo.
Passo 3
Expandindo cada termo:
Somando os dois primeiros e igualando ao terceiro:
Passo 4
Simplificar a equação trocando termos iguais dos dois lados. Primeiro somar os termos do lado esquerdo:
Agora podemos cancelar
dos dois lados:
Levar todos os termos para um lado (ou reorganizar) dá:
ou seja
Como
é positivo (é comprimento), podemos dividir por
e obter
Passo 5
Substituindo
nos comprimentos dos lados obtemos os três lados em função de
:
Portanto o triângulo é um múltiplo do triângulo
: os catetos valem
e
e a hipotenusa vale
.
Passo 6
Agora precisamos relacionar
com o raio
do círculo inscrito. Vou usar a fórmula do raio inscrito em termos dos lados e da área. Para qualquer triângulo, se
são os lados e
o semiperímetro,
e se
é a área, então
No caso de um triângulo retângulo, a área é simplesmente metade do produto dos catetos, porque área
(base
altura)/2. Tomando os catetos
e
temos
. Portanto
(Observação curta: para triângulo retângulo também vale a forma equivalente
; isso pode ser verificado usando
, mas a fórmula
já é suficiente.)
Passo 7
Aplicar a fórmula ao nosso caso com
,
,
. Primeiro o denominador:
O numerador
é
Logo
Passo 8
Conclusão intermediária: a razão da P.A. que definimos como
coincide com o raio inscrito
do triângulo.