Resolva:
b) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A crescente. Mostre que a razão da progressão é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou organizar direitinho para não se perder):
  • É dado um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética (P.A.) em ordem crescente.
  • Isso significa que existem números reais positivos x (termo central) e d>0 (a razão da P.A.) tais que os comprimentos dos lados, do menor para o maior, são
x-d,\quad x,\quad x+d.
  • Como é triângulo retângulo, o maior desses lados é a hipotenusa.
  • O que se pede: mostrar que a razão da P.A., isto é d, é igual ao raio r do círculo inscrito no triângulo (o incentro), ou seja, provar que
r=d.

Passo 2

Usar o teorema de Pitágoras (porque é um triângulo retângulo): a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Com as medidas acima temos
(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2.
Agora vou desenvolver essa equação passo a passo.

Passo 3

Expandindo cada termo:
(x-d)^2 = x^2 - 2xd + d^2,
x^2 = x^2,
(x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2.
Somando os dois primeiros e igualando ao terceiro:
(x^2 - 2xd + d^2) + x^2 = x^2 + 2xd + d^2.

Passo 4

Simplificar a equação trocando termos iguais dos dois lados. Primeiro somar os termos do lado esquerdo:
2x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2.
Agora podemos cancelar d^2 dos dois lados:
2x^2 - 2xd = x^2 + 2xd.
Levar todos os termos para um lado (ou reorganizar) dá:
2x^2 - x^2 = 2xd + 2xd,
ou seja
x^2 = 4xd.
Como x é positivo (é comprimento), podemos dividir por x e obter
x = 4d.

Passo 5

Substituindo x=4d nos comprimentos dos lados obtemos os três lados em função de d:
x-d = 4d-d = 3d,
x = 4d,
x+d = 4d+d = 5d.
Portanto o triângulo é um múltiplo do triângulo 3,4,5: os catetos valem 3d e 4d e a hipotenusa vale 5d.

Passo 6

Agora precisamos relacionar d com o raio r do círculo inscrito. Vou usar a fórmula do raio inscrito em termos dos lados e da área. Para qualquer triângulo, se a,b,c são os lados e s o semiperímetro,
s=\frac{a+b+c}{2},
e se \Delta é a área, então
r=\frac{\Delta}{s}.
No caso de um triângulo retângulo, a área é simplesmente metade do produto dos catetos, porque área = (base \times altura)/2. Tomando os catetos a e b temos \Delta=\dfrac{ab}{2}. Portanto
r=\frac{\Delta}{s}=\frac{\dfrac{ab}{2}}{\dfrac{a+b+c}{2}}=\frac{ab}{a+b+c}.
(Observação curta: para triângulo retângulo também vale a forma equivalente r=\dfrac{a+b-c}{2}; isso pode ser verificado usando c^2=a^2+b^2, mas a fórmula r=\dfrac{ab}{a+b+c} já é suficiente.)

Passo 7

Aplicar a fórmula ao nosso caso com a=3d, b=4d, c=5d. Primeiro o denominador:
a+b+c = 3d+4d+5d = 12d.
O numerador ab é
ab = (3d)(4d) = 12d^2.
Logo
r=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{12d^2}{12d}=d.

Passo 8

Conclusão intermediária: a razão da P.A. que definimos como d coincide com o raio inscrito r do triângulo.

Resposta

r=d

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