Resolva:
a) Calcule, pela definiçāo, a derivada de
.
b) Encontre a equaçāo da reta tangente ao gráfico de
no ponto ( 1,2 ).
a) Calcule, pela definiçāo, a derivada de
b) Encontre a equaçāo da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá a função
:
- (a) Calcular, pela definição, a derivada de
. - (b) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações dadas relevantes:
- A função é
. - O ponto onde queremos a reta tangente é
.
Passo 2
Primeiro lembramos a definição de derivada que vamos usar (essa é a “definição” pedida):
Explicação didática: aqui
é um “pequeno incremento” em
. A expressão
é a taxa média de variação de
entre
e
. Fazer
transforma essa taxa média na taxa instantânea, que é a derivada. O objetivo é simplificar a expressão antes de fazer o limite para que não haja divisão por zero.
Passo 3
Calcular
substituindo
na função:
Expandindo passo a passo: primeiro
. Assim
Multiplicando os termos:
Passo 4
Agora formamos a diferença
. Lembrando que
, temos
Note que
,
e
se cancelaram. Agora fatoramos
(isso é útil para simplificar o quociente):
Passo 5
Formamos o quociente da definição e simplificamos:
válido para
. Agora tomamos o limite
:
Explicação didática do passo do limite: o limite de uma soma é a soma dos limites, e como
e
não dependem de
eles permanecem; o termo
tende a
quando
.
Passo 6
Interpretação e relação com uma regra prática: a derivada encontrada é
Se preferir lembrar uma regra rápida para usar na prova: para um monômio
a derivada é
. Aplicando aqui:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
(constante) é .
Somando:. Isso confirma o resultado obtido pela definição.
Passo 7
Agora resolvemos a parte (b): a reta tangente ao gráfico de
em
tem coeficiente angular igual a
. Calculamos o declive:
Verificação rápida de que o ponto pertence à curva:
, então
está correto.
Passo 8
A equação ponto-declive da reta tangente é
onde
,
e
. Substituindo:
Colocando na forma explicita
:
Resposta
(a)
(b)
(b)