Resolva:
a) Calcule, pela definiçāo, a derivada de f(x)=3 x^{2}-2 x+1.
b) Encontre a equaçāo da reta tangente ao gráfico de f(x)=3 x^{2}-2 x+1 no ponto ( 1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá a função f:
  • (a) Calcular, pela definição, a derivada de f(x)=3x^{2}-2x+1.
  • (b) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,2).
Informações dadas relevantes:
  • A função é f(x)=3x^{2}-2x+1.
  • O ponto onde queremos a reta tangente é (x_{0},y_{0})=(1,2).

Passo 2

Primeiro lembramos a definição de derivada que vamos usar (essa é a “definição” pedida):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicação didática: aqui h é um “pequeno incremento” em x. A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f entre x e x+h. Fazer h\to 0 transforma essa taxa média na taxa instantânea, que é a derivada. O objetivo é simplificar a expressão antes de fazer o limite para que não haja divisão por zero.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x+h na função:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-2(x+h)+1.
Expandindo passo a passo: primeiro (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Assim
f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-2x-2h+1.
Multiplicando os termos:
f(x+h)=3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h+1.

Passo 4

Agora formamos a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=3x^{2}-2x+1, temos
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &= \bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h+1\bigr)-\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)\\[4pt] &= 6xh+3h^{2}-2h. \end{aligned}
Note que 3x^{2}, -2x e +1 se cancelaram. Agora fatoramos h (isso é útil para simplificar o quociente):
f(x+h)-f(x)=h\bigl(6x+3h-2\bigr).]

Passo 5

Formamos o quociente da definição e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h\bigl(6x+3h-2\bigr)}{h}=6x+3h-2,
válido para h\neq 0. Agora tomamos o limite h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(6x+3h-2\bigr)=6x-2.
Explicação didática do passo do limite: o limite de uma soma é a soma dos limites, e como 6x e -2 não dependem de h eles permanecem; o termo 3h tende a 0 quando h\to 0.

Passo 6

Interpretação e relação com uma regra prática: a derivada encontrada é
f'(x)=6x-2.
Se preferir lembrar uma regra rápida para usar na prova: para um monômio ax^{n} a derivada é a n x^{n-1}. Aplicando aqui:
  • derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2 x^{1}=6x,
  • derivada de -2x é -2,
  • derivada de +1 (constante) é 0.
    Somando: 6x-2. Isso confirma o resultado obtido pela definição.

Passo 7

Agora resolvemos a parte (b): a reta tangente ao gráfico de f em (x_{0},y_{0})=(1,2) tem coeficiente angular igual a f'(x_{0}). Calculamos o declive:
f'(1)=6\cdot 1-2=4.
Verificação rápida de que o ponto pertence à curva: f(1)=3\cdot1^{2}-2\cdot1+1=3-2+1=2, então (1,2) está correto.

Passo 8

A equação ponto-declive da reta tangente é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m=f'(1)=4, x_{0}=1 e y_{0}=2. Substituindo:
y-2=4(x-1).
Colocando na forma explicita y=mx+b:
y-2=4x-4 \quad\Rightarrow\quad y=4x-2.

Resposta

(a) f'(x)=6x-2
(b) y=4x-2

Exercícios relacionados