Resolva:
c) Encontre a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A obtida inserindo dez meios aritméticos entre 2 e 33.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O primeiro termo dado é 2.
    • O último termo dado (após inserir os meios) é 33.
    • Foram inseridos dez meios aritméticos entre 2 e 33.
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (P.A.) obtida ao inserir esses dez meios aritméticos.
Observação sobre contagem: inserir dez meios aritméticos entre 2 e 33 significa que, contando 2, os dez termos inseridos e 33, a P.A. formada tem 12 termos no trecho entre 2 e 33.

Passo 2

Determinar a razão d da P.A. formada entre 2 e 33.
Lembrete útil (fórmula):
\text{Se uma P.A. tem primeiro termo }a_1\text{ e enésimo termo }a_n\text{, então}éã
d=\frac{a_n-a_1}{n-1},
onde d é a razão, a_1 é o primeiro termo, a_n é o termo de índice n, e n é o número total de termos considerados.
Aqui a_1=2, a_{12}=33 (porque há 10 meios + os 2 extremos = 12 termos no trecho), e n=12. Então:
d=\frac{33-2}{12-1}=\frac{31}{11}.
Explicando em palavras: a diferença total entre 33 e 2 é 31, e essa diferença é repartida em 11 intervalos (entre 12 termos), logo cada passo (razão) vale \dfrac{31}{11}.

Passo 3

Obter a fórmula do termo geral e, se útil, o vigésimo termo a_{20}.
Fórmula do termo geral de uma P.A.:
a_k=a_1+(k-1)d,
onde a_k é o k-ésimo termo.
Aplicando para k=20:
a_{20}=a_1+19d=2+19\cdot\frac{31}{11}.
Calculemos:
19\cdot\frac{31}{11}=\frac{589}{11},
a_{20}=2+\frac{589}{11}=\frac{22}{11}+\frac{589}{11}=\frac{611}{11}.
Portanto a_{20}=\dfrac{611}{11}.

Passo 4

Escolher e aplicar a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma P.A.
Fórmulas úteis (duas formas equivalentes):
S_n=\frac{n}{2}\,(a_1+a_n) \qquad\text{ou}\qquad S_n=\frac{n}{2}\,\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr),
onde S_n é a soma dos primeiros n termos.
Aqui queremos S_{20}. Como já temos a_1 e a_{20}, uso a primeira forma:
S_{20}=\frac{20}{2}\,(a_1+a_{20})=10\left(2+\frac{611}{11}\right).

Passo 5

Calcular explicitamente S_{20}.
Continuando:
2+\frac{611}{11}=\frac{22}{11}+\frac{611}{11}=\frac{633}{11},
S_{20}=10\cdot\frac{633}{11}=\frac{6330}{11}.
Se preferir um número misto:
\frac{6330}{11}=575+\frac{5}{11}.
Também pode-se apresentar em decimal aproximado:
S_{20}\approx 575{,}4545\ldots

Resposta

\dfrac{6330}{11}

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