Resolva:
c) Encontre a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A obtida inserindo dez meios aritméticos entre 2 e 33.
c) Encontre a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A obtida inserindo dez meios aritméticos entre 2 e 33.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O primeiro termo dado é
. - O último termo dado (após inserir os meios) é
. - Foram inseridos dez meios aritméticos entre
e .
- O primeiro termo dado é
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar a soma dos
primeiros termos da progressão aritmética (P.A.) obtida ao inserir esses dez meios aritméticos.
- Encontrar a soma dos
Observação sobre contagem: inserir dez meios aritméticos entre
e
significa que, contando
, os dez termos inseridos e
, a P.A. formada tem
termos no trecho entre
e
.
Passo 2
Determinar a razão
da P.A. formada entre
e
.
Lembrete útil (fórmula):
onde
é a razão,
é o primeiro termo,
é o termo de índice
, e
é o número total de termos considerados.
Aqui
,
(porque há 10 meios + os 2 extremos = 12 termos no trecho), e
. Então:
Explicando em palavras: a diferença total entre
e
é
, e essa diferença é repartida em
intervalos (entre 12 termos), logo cada passo (razão) vale
.
Passo 3
Obter a fórmula do termo geral e, se útil, o vigésimo termo
.
Fórmula do termo geral de uma P.A.:
onde
é o k-ésimo termo.
Aplicando para
:
Calculemos:
Portanto
.
Passo 4
Escolher e aplicar a fórmula da soma dos primeiros
termos de uma P.A.
Fórmulas úteis (duas formas equivalentes):
onde
é a soma dos primeiros
termos.
Aqui queremos
. Como já temos
e
, uso a primeira forma:
Passo 5
Calcular explicitamente
.
Continuando:
Se preferir um número misto:
Também pode-se apresentar em decimal aproximado: