Resolva a equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x}}{y^{2}+1}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a função y(x) que satisfaz:
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x}}{y^{2}+1},\qquad y(0)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • A condição inicial é y(0)=1, que serve para determinar a constante de integração.
  • O objetivo é encontrar y(x) (uma solução que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial).

Passo 2

Identificação do tipo de manipulação necessária (explicação didática).
Aqui podemos tentar isolar as variáveis x e y em lados opostos da equação para integrar. Esse procedimento chama-se separação de variáveis: a ideia é escrever a equação na forma
g(y)\,\frac{d y}{d x}=h(x)
e então reescrever como
g(y)\,dy=h(x)\,dx,
para integrar ambos os lados em relação às suas variáveis. Não estamos apenas aplicando uma “receita”: separação de variáveis funciona quando a expressão do lado direito é um produto de uma função de x por uma função de y, ou pode ser manipulada para ficar assim.
No nosso caso temos
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x}}{y^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (y^{2}+1) e por dx obtemos a forma separada:
(y^{2}+1)\,dy = x e^{x}\,dx.

Passo 3

Integração dos dois lados (esquema).
Agora integramos ambos os lados:
\int (y^{2}+1)\,dy = \int x e^{x}\,dx.
Vou explicar cada integral com calma.

Passo 4

Integração do lado esquerdo (aula curta).
O integrando do lado esquerdo é uma soma simples de potências de y. A regra básica é que
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C \quad\text{(para \(n\neq -1\))},
e
\int 1\,dy = y + C.
Aplicando isso:
\int (y^{2}+1)\,dy = \int y^{2}\,dy + \int 1\,dy = \frac{y^{3}}{3} + y.
(Coloquei a constante de integração só depois de integrar os dois lados para manter uma única constante.)

Passo 5

Integração do lado direito usando integração por partes (aula sobre a técnica).
O lado direito é \int x e^{x}\,dx. Para integrar um produto como x e^{x} usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos uma função u (mais simples ao derivar) e dv (o resto). Aqui uma boa escolha é u=x e dv=e^{x}\,dx. Então:
  • u = x \Rightarrow du = dx.
  • dv = e^{x}\,dx \Rightarrow v = e^{x} (porque \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}).
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Uma forma compacta é
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1).

Passo 6

Juntando os resultados das integrais e introduzindo a constante de integração.
Igualando as integrais obtidas:
\frac{y^{3}}{3} + y = e^{x}(x-1) + C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 7

Determinação da constante usando a condição inicial (explicação de substituição).
Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na expressão implícita:
  • Lado esquerdo: \dfrac{1^{3}}{3}+1 = \dfrac{1}{3}+1 = \dfrac{4}{3}.
  • Lado direito: e^{0}(0-1)+C = 1\cdot(-1)+C = -1 + C.
Então
-1 + C = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{4}{3}+1 = \frac{7}{3}.

Passo 8

Escrever a solução final (implícita) e comentar sobre forma explícita.
Substituindo C=\dfrac{7}{3} na relação obtida:
\frac{y^{3}}{3} + y = e^{x}(x-1) + \frac{7}{3}.
Essa é a solução da equação diferencial satisfazendo y(0)=1. É uma solução dada de forma implícita em termos de y e x. Poderíamos multiplicar por 3 para uma forma um pouco mais “polinomial”:
y^{3} + 3y = 3e^{x}(x-1) + 7.
Resolver explicitamente para y implica resolver uma equação cúbica para cada x; isso é possível com a fórmula de Cardano, mas gera uma expressão extensa e raramente é necessária num exame — a forma implícita acima é perfeitamente aceitável e costuma ser a resposta pedida.

Passo 9

Verificação rápida (opcional e instrutiva).
Se desejar verificar que a solução está correta, pode derivar ambos os lados da relação implícita em relação a x (usando derivada implícita) e verificar que retorna à equação original. Também a condição inicial está satisfeita (substituindo x=0 obtém-se y=1).

Resposta

\dfrac{y^{3}}{3}+y = e^{x}(x-1)+\dfrac{7}{3}

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