Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a função
que satisfaz:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - A condição inicial é
, que serve para determinar a constante de integração. - O objetivo é encontrar
(uma solução que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial).
Passo 2
Identificação do tipo de manipulação necessária (explicação didática).
Aqui podemos tentar isolar as variáveis e
em lados opostos da equação para integrar. Esse procedimento chama-se separação de variáveis: a ideia é escrever a equação na forma
Aqui podemos tentar isolar as variáveis
e então reescrever como
para integrar ambos os lados em relação às suas variáveis. Não estamos apenas aplicando uma “receita”: separação de variáveis funciona quando a expressão do lado direito é um produto de uma função de
por uma função de
, ou pode ser manipulada para ficar assim.
No nosso caso temos
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos a forma separada:
Passo 3
Integração dos dois lados (esquema).
Agora integramos ambos os lados:
Agora integramos ambos os lados:
Vou explicar cada integral com calma.
Passo 4
Integração do lado esquerdo (aula curta).
O integrando do lado esquerdo é uma soma simples de potências de . A regra básica é que
O integrando do lado esquerdo é uma soma simples de potências de
e
Aplicando isso:
(Coloquei a constante de integração só depois de integrar os dois lados para manter uma única constante.)
Passo 5
Integração do lado direito usando integração por partes (aula sobre a técnica).
O lado direito é . Para integrar um produto como
usamos a fórmula de integração por partes:
O lado direito é
onde escolhemos uma função
(mais simples ao derivar) e
(o resto). Aqui uma boa escolha é
e
. Então:
-
. -
(porque ).
Aplicando a fórmula:
Uma forma compacta é
Passo 6
Juntando os resultados das integrais e introduzindo a constante de integração.
Igualando as integrais obtidas:
Igualando as integrais obtidas:
onde
é a constante de integração (real).
Passo 7
Determinação da constante usando a condição inicial (explicação de substituição).
Usamos a condição inicial . Substituindo
e
na expressão implícita:
Usamos a condição inicial
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Então
Passo 8
Escrever a solução final (implícita) e comentar sobre forma explícita.
Substituindo na relação obtida:
Substituindo
Essa é a solução da equação diferencial satisfazendo
. É uma solução dada de forma implícita em termos de
e
. Poderíamos multiplicar por
para uma forma um pouco mais “polinomial”:
Resolver explicitamente para
implica resolver uma equação cúbica para cada
; isso é possível com a fórmula de Cardano, mas gera uma expressão extensa e raramente é necessária num exame — a forma implícita acima é perfeitamente aceitável e costuma ser a resposta pedida.
Passo 9
Verificação rápida (opcional e instrutiva).
Se desejar verificar que a solução está correta, pode derivar ambos os lados da relação implícita em relação a (usando derivada implícita) e verificar que retorna à equação original. Também a condição inicial está satisfeita (substituindo
obtém-se
).
Se desejar verificar que a solução está correta, pode derivar ambos os lados da relação implícita em relação a