Resolva as equações de Bernoulli seguintes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. Vamos listar claramente o que temos e o que é pedido.
- Equação dada:
- A incógnita é a função
. - Observações imediatas extraídas do enunciado:
- Há termos com
, portanto no domínio onde a equação está bem definida. - A equação é não linear por causa do termo
.
- Há termos com
- O objetivo: encontrar a solução geral
(ou as soluções gerais), com a constante de integração apropriada e indicar condições óbvias sobre domínio/constantes.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padronizada para poder aplicar uma substituição útil.
- Reescrevo a equação isolando os termos na forma padrão
- Comparando com a equação dada, obtemos:
-
, -
, -
.
-
Explicando a ideia (aula curta): quando a equação tem a forma
, existe uma substituição que transforma a equação não linear numa equação linear de primeira ordem. Essa substituição é baseada em reduzir a potência
multiplicando por uma potência apropriada de
.
Passo 3
Apresentar e justificar a substituição que lineariza a equação.
- Escolhe-se a substituição
- Aqui
, então
- Vamos relacionar
com . Diferenciando em relação a (regra da cadeia):
- Reescrevendo essa relação isolando
:
Mas é mais direto usar a derivação geral da substituição para a forma padrão: multiplicando a equação original por
obtemos diretamente uma equação para
. Faço isso a seguir.
Passo 4
Derivar a equação linear para
aplicando a multiplicação por
.
- Multiplico a equação original por
:
- Simplificando termo a termo:
- O primeiro termo é
(pela derivada de ). - O segundo termo:
. - O terceiro termo:
.
- O primeiro termo é
- Assim obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Resolver a equação linear de primeira ordem em
.
- Esta é uma equação do tipo
com e . - Método: fator integrante. O fator integrante
é
para
.
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo é a derivada do produto
:
- Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável
usando a substituição
e simplificar.
- De
segue
- Lembrando
, temos
- Invertendo para obter
:
- Portanto
- Observações sobre domínio/constante:
- O resultado foi obtido supondo
. - Para a expressão estar real é necessário
(isso impõe uma restrição entre e ; por definição é constante e se varia escolhe-se a região de onde ). - Há também a solução trivial
, que satisfaz a equação original (verificação direta: se então ambos os lados são ) — ela não aparece diretamente na forma para finito, portanto deve ser citada separadamente.
- O resultado foi obtido supondo
Passo 7
Verificação rápida (confirmação de que a forma encontrada satisfaz a equação).
- Pode-se substituir
na equação original e verificar, após contas algébricas (diferenciação e simplificações), que a igualdade é satisfeita. A etapa do fator integrante e a integração já garantem a correção da solução obtida.