Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=-\frac{1}{x} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. Vamos listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Equação dada:
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=-\frac{1}{x} y^{3}.
  • A incógnita é a função y(x).
  • Observações imediatas extraídas do enunciado:
    • Há termos com 1/x, portanto x\neq0 no domínio onde a equação está bem definida.
    • A equação é não linear por causa do termo y^{3}.
  • O objetivo: encontrar a solução geral y(x) (ou as soluções gerais), com a constante de integração apropriada e indicar condições óbvias sobre domínio/constantes.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padronizada para poder aplicar uma substituição útil.
  • Reescrevo a equação isolando os termos na forma padrão
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
  • Comparando com a equação dada, obtemos:
    • P(x) = -\dfrac{1}{x},
    • Q(x) = -\dfrac{1}{x},
    • n = 3.
Explicando a ideia (aula curta): quando a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}, existe uma substituição que transforma a equação não linear numa equação linear de primeira ordem. Essa substituição é baseada em reduzir a potência y^{n} multiplicando por uma potência apropriada de y.

Passo 3

Apresentar e justificar a substituição que lineariza a equação.
  • Escolhe-se a substituição
u = y^{1-n}.
  • Aqui n=3, então
u = y^{1-3} = y^{-2}.
  • Vamos relacionar du/dx com dy/dx. Diferenciando u=y^{-2} em relação a x (regra da cadeia):
\frac{d u}{d x} = -2\,y^{-3}\,\frac{d y}{d x}.
  • Reescrevendo essa relação isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{2}\,y^{3}\,\frac{d u}{d x}.
Mas é mais direto usar a derivação geral da substituição para a forma padrão: multiplicando a equação original por (1-n)y^{-n}=(1-3)y^{-3}=-2y^{-3} obtemos diretamente uma equação para u. Faço isso a seguir.

Passo 4

Derivar a equação linear para u aplicando a multiplicação por (1-n)y^{-n}.
  • Multiplico a equação original por -2y^{-3}:
-2y^{-3}\frac{d y}{d x} -2y^{-3}\left(-\frac{1}{x}y\right) = -2y^{-3}\left(-\frac{1}{x}y^{3}\right).
  • Simplificando termo a termo:
    • O primeiro termo é -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} (pela derivada de u=y^{-2}).
    • O segundo termo: -2y^{-3}\left(-\dfrac{1}{x}y\right) = -2\left(-\dfrac{1}{x}\right)y^{-2} = \dfrac{2}{x}\,u.
    • O terceiro termo: -2y^{-3}\left(-\dfrac{1}{x}y^{3}\right)= -2\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{2}{x}.
  • Assim obtemos a equação linear em u:
\frac{d u}{d x} + \frac{2}{x}\,u = \frac{2}{x}.

Passo 5

Resolver a equação linear de primeira ordem em u.
  • Esta é uma equação do tipo \dfrac{du}{dx}+p(x)u = g(x) com p(x)=\dfrac{2}{x} e g(x)=\dfrac{2}{x}.
  • Método: fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(2\ln|x|)=x^{2},
para x\neq0.
  • Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{2} obtemos
x^{2}\frac{d u}{d x}+2x\,u = 2x.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto x^{2}u:
\frac{d}{d x}\bigl(x^{2}u\bigr) = 2x.
  • Integro ambos os lados em relação a x:
x^{2}u = \int 2x\,dx = x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável y usando a substituição u=y^{-2} e simplificar.
  • De x^{2}u = x^{2}+C segue
u = 1 + \frac{C}{x^{2}}.
  • Lembrando u=y^{-2}, temos
y^{-2} = 1 + \frac{C}{x^{2}}.
  • Invertendo para obter y^{2}:
y^{2} = \frac{1}{1 + \dfrac{C}{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+C}.
  • Portanto
y(x) = \pm \frac{x}{\sqrt{x^{2}+C}}.
  • Observações sobre domínio/constante:
    • O resultado foi obtido supondo x\neq0.
    • Para a expressão estar real é necessário x^{2}+C>0 (isso impõe uma restrição entre C e x; por definição C é constante e se x varia escolhe-se a região de x onde x^{2}+C>0).
    • Há também a solução trivial y\equiv 0, que satisfaz a equação original (verificação direta: se y=0 então ambos os lados são 0) — ela não aparece diretamente na forma \pm x/\sqrt{x^{2}+C} para C finito, portanto deve ser citada separadamente.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação de que a forma encontrada satisfaz a equação).
  • Pode-se substituir y^{2}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+C} na equação original e verificar, após contas algébricas (diferenciação e simplificações), que a igualdade é satisfeita. A etapa do fator integrante e a integração já garantem a correção da solução obtida.

Resposta

y(x)=\pm \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+C}}, com C\in\mathbb{R} e x\neq0 (valendo sobre as regiões onde x^{2}+C>0).
y(x)\equiv 0.

Exercícios relacionados