Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=-\frac{1}{x^{2}} y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (vou copiar exatamente os termos fornecidos):
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=-\frac{1}{x^{2}} y^{2}.
O que é pedido: encontrar as soluções y(x) que satisfazem essa equação diferencial (a solução geral e possíveis soluções singulares). Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve termos com x no denominador, portanto x\neq 0 é uma condição natural no domínio das soluções.
  • Há um termo y^{2}, ou seja, a equação é não linear em y.

Passo 2

Identificar a forma da equação e a ideia do método. Vou explicar o método passo a passo: esta equação tem a forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)\,y^{n},
onde as funções p(x), q(x) e o expoente n são extraídos comparando com a equação dada. Aqui, reorganizando os sinais, temos
\frac{dy}{dx}+\left(-\frac{1}{x}\right)y=\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)y^{2}.
Portanto:
p(x)=-\frac{1}{x},\qquad q(x)=-\frac{1}{x^{2}},\qquad n=2.
Quando a equação tem essa forma (expoente n\neq 0,1), uma técnica padrão é usar a substituição
u=y^{1-n}.
Vou explicar por que essa substituição funciona e aplicá-la aqui.

Passo 3

Aplicar a substituição e calcular du/dx. Com n=2 temos
u = y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (supondo y\neq0), obtemos
\frac{du}{dx} = -\,y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Isso permite escrever \frac{dy}{dx} em função de \frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\,\frac{du}{dx}.
Agora substituímos essa expressão e u=\frac{1}{y} na equação original.

Passo 4

Substituição na equação original e obtenção de uma equação linear para u. A equação original é
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=-\frac{1}{x^{2}}y^{2}.
Substituindo \frac{dy}{dx}=-y^{2}\frac{du}{dx} e dividindo por y^{2} quando necessário (lembrando y\neq0 aqui), temos:
-\,y^{2}\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}y=-\frac{1}{x^{2}}y^{2}.
Dividindo toda a igualdade por y^{2} ficamos com
-\,\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=-\frac{1}{x^{2}}.
Agora usamos \frac{1}{y}=u para obter
-\,\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-\frac{1}{x^{2}}.
Multiplicando por -1 obtemos uma equação linear de primeira ordem para u:
\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}u=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação linear para u(x) usando fator integrante. A equação é da forma
\frac{du}{dx}+P(x)\,u=Q(x),
com P(x)=\frac{1}{x} e Q(x)=\frac{1}{x^{2}}. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Para simplicidade (e trabalhando em um intervalo onde x tem sinal fixo) podemos tomar \mu(x)=x lembrando que x\neq0. Multiplicando a equação por x:
x\frac{du}{dx}+u=\frac{1}{x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto x u:
\frac{d}{dx}(x u)=\frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x u=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Portanto
u=\frac{\ln|x|+C}{x}.

Passo 6

Voltar para y usando u=\dfrac{1}{y}. Como u=\dfrac{1}{y}, obtemos
\frac{1}{y}=\frac{\ln|x|+C}{x}.
Invertendo, a solução (para y\neq0) é
y=\frac{x}{\ln|x|+C}.
Aqui C é uma constante real arbitrária. Note que a solução está definida onde x\neq0 e \ln|x|+C\neq0 (pontos onde o denominador zera são singularidades da solução).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): verificar que essa y satisfaz a equação. Seja
y=\frac{x}{D}\quad\text{com}\quad D=\ln|x|+C.
Calcule dy/dx usando a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{D\cdot 1 - x\cdot (1/x)}{D^{2}}=\frac{D-1}{D^{2}}.
Calcule \frac{1}{x}y=\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{D}=\frac{1}{D}. Então
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=\frac{D-1}{D^{2}}-\frac{1}{D}=\frac{D-1-D}{D^{2}}=-\frac{1}{D^{2}}.
Por outro lado,
-\frac{1}{x^{2}}y^{2}=-\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{D^{2}}=-\frac{1}{D^{2}}.
As duas expressões coincidem, logo a função encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 8

Lembrar solução singular excluída pela substituição u=1/y. A substituição u=1/y só é válida quando y\neq0. Devemos verificar se y\equiv 0 (a função identicamente zero) é solução da equação original. Substituindo y=0 na equação:
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=-\frac{1}{x^{2}}y^{2}
temos 0-0=0, portanto y\equiv 0 também é uma solução válida. Assim a família encontrada mais a solução trivial cobrem todas as soluções.

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{\ln|x|+C}
y(x)\equiv 0

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