Resolva as equações de Bernoulli seguintes
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (vou copiar exatamente os termos fornecidos):
O que é pedido: encontrar as soluções
que satisfazem essa equação diferencial (a solução geral e possíveis soluções singulares). Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve termos com
no denominador, portanto é uma condição natural no domínio das soluções. - Há um termo
, ou seja, a equação é não linear em .
Passo 2
Identificar a forma da equação e a ideia do método. Vou explicar o método passo a passo: esta equação tem a forma
onde as funções
,
e o expoente
são extraídos comparando com a equação dada. Aqui, reorganizando os sinais, temos
Portanto:
Quando a equação tem essa forma (expoente
), uma técnica padrão é usar a substituição
Vou explicar por que essa substituição funciona e aplicá-la aqui.
Passo 3
Aplicar a substituição e calcular
. Com
temos
Diferenciando ambos os lados em relação a
(supondo
), obtemos
Isso permite escrever
em função de
:
Agora substituímos essa expressão e
na equação original.
Passo 4
Substituição na equação original e obtenção de uma equação linear para
. A equação original é
Substituindo
e dividindo por
quando necessário (lembrando
aqui), temos:
Dividindo toda a igualdade por
ficamos com
Agora usamos
para obter
Multiplicando por
obtemos uma equação linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Resolver a equação linear para
usando fator integrante. A equação é da forma
com
e
. O fator integrante
é
Para simplicidade (e trabalhando em um intervalo onde
tem sinal fixo) podemos tomar
lembrando que
. Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária de integração. Portanto
Passo 6
Voltar para
usando
. Como
, obtemos
Invertendo, a solução (para
) é
Aqui
é uma constante real arbitrária. Note que a solução está definida onde
e
(pontos onde o denominador zera são singularidades da solução).
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): verificar que essa
satisfaz a equação. Seja
Calcule
usando a regra do quociente:
Calcule
. Então
Por outro lado,
As duas expressões coincidem, logo a função encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.
Passo 8
Lembrar solução singular excluída pela substituição
. A substituição
só é válida quando
. Devemos verificar se
(a função identicamente zero) é solução da equação original. Substituindo
na equação:
temos
, portanto
também é uma solução válida. Assim a família encontrada mais a solução trivial cobrem todas as soluções.