Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\frac{d y}{d x}+x y=2 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+x\,y=2x\,y^{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • É uma equação de primeira ordem envolvendo y e y^{2}.
  • Quer-se a solução geral (as funções y(x) que satisfazem a equação), incluindo constantes arbitrárias.

Passo 2

Observando a equação, ela tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=x, Q(x)=2x e n=2. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. Vou explicar a ideia do método de Bernoulli de forma simples e prática.
A técnica do método de Bernoulli é transformar a equação não linear em uma equação linear usando a substituição
z = y^{\,1-n}.
Aqui n=2, então a escolha natural é
z = y^{\,1-2} = y^{-1}=\frac{1}{y}.
A razão dessa substituição é que ela elimina o termo y^{n} quando reescrevemos a equação em termos de z; o resultado será uma equação linear em z, que sabemos resolver com fator integrante.

Passo 3

Calcular a derivada de z em função de y:
z=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora substituo \frac{dy}{dx} da equação original. Antes, reorganizo a equação original para facilitar a eliminação:
\frac{dy}{dx} = -x\,y + 2x\,y^{2}.
Multiplicando ambos os lados por -\dfrac{1}{y^{2}} (isso é permitido desde que y\neq 0; tratamos y\equiv 0 separadamente depois), obtenho
-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx} = x\frac{1}{y} - 2x.
Pelo cálculo anterior, o lado esquerdo é \dfrac{dz}{dx}. Como \dfrac{1}{y}=z, a equação fica
\frac{dz}{dx} = x\,z - 2x.
Reescrevendo em forma padrão linear:
\frac{dz}{dx} - x\,z = -2x.

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem para z(x):
\frac{dz}{dx} + p(x)\,z = r(x),
com p(x)=-x e r(x)=-2x.
O método do fator integrante diz para calcular
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -x\,dx\right)=\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)=e^{-x^{2}/2}.
Multiplico toda a equação por \mu(x):
e^{-x^{2}/2}\frac{dz}{dx} - x e^{-x^{2}/2} z = -2x e^{-x^{2}/2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\!\big(e^{-x^{2}/2} z\big). Logo
\frac{d}{dx}\!\big(e^{-x^{2}/2} z\big) = -2x e^{-x^{2}/2}.
Integro ambos os lados em relação a x:
e^{-x^{2}/2} z = \int -2x e^{-x^{2}/2}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, faço a substituição s=\dfrac{x^{2}}{2}, então ds = x\,dx. Assim
\int -2x e^{-x^{2}/2}\,dx = -2\int x e^{-x^{2}/2}\,dx = -2\int e^{-s}\,ds = -2(-e^{-s}) + C_1 = 2 e^{-s} + C_1.
Voltando a x isso dá 2 e^{-x^{2}/2}+C_1. Incorporando constantes (somando C_1 a C) temos
e^{-x^{2}/2} z = 2 e^{-x^{2}/2} + C.
Dividindo por e^{-x^{2}/2} (sempre positivo), obtemos
z = 2 + C e^{x^{2}/2}.

Passo 5

Lembrando que z=\dfrac{1}{y}, passo de volta para y:
\frac{1}{y} = 2 + C e^{x^{2}/2}.
Portanto, para y\neq 0 a solução geral é
y(x)=\frac{1}{2 + C e^{x^{2}/2}},
onde C é constante arbitrária real.
Há ainda a solução que perdemos ao multiplicar por 1/y^{2}: y\equiv 0. Verifico rapidamente: se y\equiv 0, então \dfrac{dy}{dx}=0 e a equação original fica 0+ x\cdot 0 = 2x\cdot 0, que é verdadeira. Então y\equiv 0 também é solução.
Observação rápida sobre domínio: para certos valores de C a expressão 2 + C e^{x^{2}/2} pode anular-se para algum x, o que geraria singularidade (ponto onde a solução explode). Isso é comportamento típico de soluções de equações não lineares de Bernoulli; na prova não é obrigatório detalhar muito, apenas sabendo que a solução é válida enquanto o denominador for não nulo.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2 + C e^{x^{2}/2}},\\ C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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