Resolva as equações de Bernoulli seguintes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - É uma equação de primeira ordem envolvendo
e . - Quer-se a solução geral (as funções
que satisfazem a equação), incluindo constantes arbitrárias.
Passo 2
Observando a equação, ela tem a forma
com
,
e
. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. Vou explicar a ideia do método de Bernoulli de forma simples e prática.
A técnica do método de Bernoulli é transformar a equação não linear em uma equação linear usando a substituição
Aqui
, então a escolha natural é
A razão dessa substituição é que ela elimina o termo
quando reescrevemos a equação em termos de
; o resultado será uma equação linear em
, que sabemos resolver com fator integrante.
Passo 3
Calcular a derivada de
em função de
:
Agora substituo
da equação original. Antes, reorganizo a equação original para facilitar a eliminação:
Multiplicando ambos os lados por
(isso é permitido desde que
; tratamos
separadamente depois), obtenho
Pelo cálculo anterior, o lado esquerdo é
. Como
, a equação fica
Reescrevendo em forma padrão linear:
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
com
e
.
O método do fator integrante diz para calcular
Multiplico toda a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, faço a substituição
, então
. Assim
Voltando a
isso dá
. Incorporando constantes (somando
a
) temos
Dividindo por
(sempre positivo), obtemos
Passo 5
Lembrando que
, passo de volta para
:
Portanto, para
a solução geral é
onde
é constante arbitrária real.
Há ainda a solução que perdemos ao multiplicar por
:
. Verifico rapidamente: se
, então
e a equação original fica
, que é verdadeira. Então
também é solução.
Observação rápida sobre domínio: para certos valores de
a expressão
pode anular-se para algum
, o que geraria singularidade (ponto onde a solução explode). Isso é comportamento típico de soluções de equações não lineares de Bernoulli; na prova não é obrigatório detalhar muito, apenas sabendo que a solução é válida enquanto o denominador for não nulo.