Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
A equação diferencial é \,x\dfrac{dy}{dx}+y=x^{3}y^{4}.
A condição inicial é \,y(1)=1.
A incógnita é a função y=y(x).
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão para identificar o tipo e os coeficientes:
divido a equação por x (assumindo x\neq0; o ponto inicial x=1 está em x>0):
\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=x^{2}y^{4}.
Agora temos uma equação do tipo
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2} e n=4.
Explicação didática do método (Bernoulli):
Uma equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}.
A ideia é transformar essa equação não linear numa equação linear por meio da substituição
u=y^{1-n}.
Aqui n=4, portanto escolhemos
u=y^{1-4}=y^{-3}.
Vou agora mostrar passo a passo por que essa substituição lineariza a equação.
Passo 3
Calcular a derivada de u em função de y e \dfrac{dy}{dx}:
Agora multiplico toda a equação por 3y^{-4} para eliminar potências de y na derivada:
- \dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}y^{-3} = 3x^{2}.
Lembrando que y^{-3}=u, isso fica
- \dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = 3x^{2}.
Multiplicando por -1 obtemos a forma linear padrão:
\dfrac{du}{dx}-\dfrac{3}{x}u = -3x^{2}.
Observação: agora temos uma equação linear de primeira ordem em u(x), do tipo \dfrac{du}{dx}+P_u(x)u=R(x) com P_u(x)=-\dfrac{3}{x} e R(x)=-3x^{2}. Vou resolver essa linear por fator integrante.
Comentário sobre domínio: como apareceu \ln x, faz sentido trabalhar com x>0; além disso é preciso que C-3\ln x\neq0 para evitar divisão por zero (a raiz cúbica de número negativo ainda é real, então sinal negativo não impede solução real, apenas zero é proibido).
Passo 6
Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituo x=1 e y=1: