Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\left\{\begin{array}{l}x \frac{d y}{d x}+y=x^{3} y^{4} \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver a equação diferencial com condição inicial
\begin{cases} x\dfrac{dy}{dx}+y=x^{3}y^{4},\\[4pt] y(1)=1. \end{cases}
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • A equação diferencial é \,x\dfrac{dy}{dx}+y=x^{3}y^{4}.
  • A condição inicial é \,y(1)=1.
  • A incógnita é a função y=y(x).
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão para identificar o tipo e os coeficientes:
divido a equação por x (assumindo x\neq0; o ponto inicial x=1 está em x>0):
\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=x^{2}y^{4}.
Agora temos uma equação do tipo
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2} e n=4.
Explicação didática do método (Bernoulli):
  • Uma equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}.
  • A ideia é transformar essa equação não linear numa equação linear por meio da substituição
u=y^{1-n}.
  • Aqui n=4, portanto escolhemos
u=y^{1-4}=y^{-3}.
Vou agora mostrar passo a passo por que essa substituição lineariza a equação.

Passo 3

Calcular a derivada de u em função de y e \dfrac{dy}{dx}:
u=y^{-3}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{du}{dx}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}y^{4}\dfrac{du}{dx}.
Substituo essa expressão em \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=x^{2}y^{4}:
-\dfrac{1}{3}y^{4}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{1}{x}y=x^{2}y^{4}.
Agora multiplico toda a equação por 3y^{-4} para eliminar potências de y na derivada:
- \dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}y^{-3} = 3x^{2}.
Lembrando que y^{-3}=u, isso fica
- \dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = 3x^{2}.
Multiplicando por -1 obtemos a forma linear padrão:
\dfrac{du}{dx}-\dfrac{3}{x}u = -3x^{2}.
Observação: agora temos uma equação linear de primeira ordem em u(x), do tipo \dfrac{du}{dx}+P_u(x)u=R(x) com P_u(x)=-\dfrac{3}{x} e R(x)=-3x^{2}. Vou resolver essa linear por fator integrante.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int P_u(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\dfrac{3}{x}\,dx\right)=\exp(-3\ln x)=x^{-3},
válido para x>0 (coerente com x=1 da condição inicial).
Multiplico a equação linear por \mu(x)=x^{-3}:
x^{-3}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{3}{x}x^{-3}u = -3x^{2}x^{-3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-3}u\bigr), logo
\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-3}u\bigr) = -3x^{-1}.
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{-3}u = \int -3x^{-1}\,dx = -3\ln x + C,
onde C é a constante de integração.
Isolando u:
u = x^{3}\bigl(-3\ln x + C\bigr) = x^{3}\bigl(C - 3\ln x\bigr).

Passo 5

Voltar à variável original y. Lembre que u=y^{-3}. Assim
y^{-3}=x^{3}\bigl(C-3\ln x\bigr).
Invertendo ambos os lados:
y^{3}=\dfrac{1}{x^{3}\bigl(C-3\ln x\bigr)}.
Tomando a raiz cúbica (escolhendo a raiz real; a função cúbica é bem definida para números reais não nulos):
y=\left[x^{3}\bigl(C-3\ln x\bigr)\right]^{-1/3}=x^{-1}\bigl(C-3\ln x\bigr)^{-1/3}.
Comentário sobre domínio: como apareceu \ln x, faz sentido trabalhar com x>0; além disso é preciso que C-3\ln x\neq0 para evitar divisão por zero (a raiz cúbica de número negativo ainda é real, então sinal negativo não impede solução real, apenas zero é proibido).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituo x=1 e y=1:
1 = y(1) = 1^{-1}\bigl(C-3\ln 1\bigr)^{-1/3} = \bigl(C-0\bigr)^{-1/3} = C^{-1/3}.
Logo C^{-1/3}=1\Rightarrow C=1.
Substituindo C=1 na solução geral:
y(x)=x^{-1}\bigl(1-3\ln x\bigr)^{-1/3}.
Verificação rápida do valor inicial: para x=1 obtemos y(1)=1^{-1}(1-3\cdot0)^{-1/3}=1, conforme exigido.

Resposta

y(x)=x^{-1}\bigl(1-3\ln x\bigr)^{-1/3},\qquad x>0,\\ \text{com }1-3\ln x\neq0.

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