O pedido é: encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Reconhecer a estrutura da equação e preparar para o método.
Primeiro reescrevo a equação na forma padrão de Bernoulli (colocando o termo linear do lado esquerdo):
\frac{dy}{dx}-x y = x^{3} y^{2}.
Esta é uma equação de Bernoulli da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com P(x)=-x, Q(x)=x^{3} e n=2.
A técnica padrão para resolver uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
u = y^{\,1-n}.
Aqui 1-n = 1-2 = -1, portanto escolhemos
u = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Vou explicar por que essa substituição simplifica o problema: ao definir u=y^{1-n} a equação em y se transforma numa equação linear em u, que sabemos resolver com fator integrante.
Passo 3
Encontrar a equação para u.
Calculo a derivada de u em relação a x:
Para calcular a integral do lado direito, faço a substituição auxiliar \,t=\dfrac{x^{2}}{2}, então dt=x\,dx. Observe que x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = 2t\,dt. Assim
\int -x^{3}e^{x^{2}/2}\,dx = \int -2t e^{t}\,dt.
Agora faço integração por partes (ou uso a fórmula conhecida \int t e^{t}dt = e^{t}(t-1)+C):
u\,e^{x^{2}/2} = 2e^{x^{2}/2}\Big(1-\frac{x^{2}}{2}\Big) + C.
Dividindo por e^{x^{2}/2}:
u(x)=2\Big(1-\frac{x^{2}}{2}\Big) + C e^{-x^{2}/2} = 2 - x^{2} + C e^{-x^{2}/2}.
Passo 5
Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
Lembrando que u=\dfrac{1}{y} e a condição inicial é y(0)=1, temos u(0)=1. Substituindo x=0 na expressão de u:
u(0)=2-0^{2}+C e^{0}=2+C.
De 2+C=1 segue C=-1. Então
u(x)=2-x^{2}-e^{-x^{2}/2}.
Passo 6
Voltar à variável y e escrever a solução final.
Como u=1/y, temos
Observação útil para prova: esta solução é válida enquanto o denominador 2-x^{2}-e^{-x^{2}/2} for diferente de zero. Em x=0 o denominador vale 1, portanto a condição inicial é atendida.