Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=x y+y^{2} x^{3} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=x y+y^{2} x^{3},\\[6pt] y(0)=1. \end{cases}
O pedido é: encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Reconhecer a estrutura da equação e preparar para o método.
Primeiro reescrevo a equação na forma padrão de Bernoulli (colocando o termo linear do lado esquerdo):
\frac{dy}{dx}-x y = x^{3} y^{2}.
Esta é uma equação de Bernoulli da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com P(x)=-x, Q(x)=x^{3} e n=2.
A técnica padrão para resolver uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
u = y^{\,1-n}.
Aqui 1-n = 1-2 = -1, portanto escolhemos
u = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Vou explicar por que essa substituição simplifica o problema: ao definir u=y^{1-n} a equação em y se transforma numa equação linear em u, que sabemos resolver com fator integrante.

Passo 3

Encontrar a equação para u.
Calculo a derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big) = -y^{-2}\frac{dy}{dx}.
Agora substituo \dfrac{dy}{dx} pela expressão dada na equação original:
\frac{du}{dx} = -y^{-2}\big(x y + x^{3} y^{2}\big).
Distribuindo e simplificando usando 1/y = u:
\frac{du}{dx} = -\Big(\frac{x y}{y^{2}} + \frac{x^{3} y^{2}}{y^{2}}\Big) = -\Big(\frac{x}{y} + x^{3}\Big) = -x u - x^{3}.
Reescrevo isso na forma padrão linear:
\frac{du}{dx} + x\,u = -x^{3}.

Passo 4

Resolver a equação linear para u usando fator integrante.
A equação é
\frac{du}{dx} + x\,u = -x^{3}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int x\,dx\Big)=\exp\!\Big(\frac{x^{2}}{2}\Big)=e^{x^{2}/2}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(u\,e^{x^{2}/2}\big) = -x^{3}e^{x^{2}/2}.
Agora integro em x:
u\,e^{x^{2}/2} = \int -x^{3}e^{x^{2}/2}\,dx + C.
Para calcular a integral do lado direito, faço a substituição auxiliar \,t=\dfrac{x^{2}}{2}, então dt=x\,dx. Observe que x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = 2t\,dt. Assim
\int -x^{3}e^{x^{2}/2}\,dx = \int -2t e^{t}\,dt.
Agora faço integração por partes (ou uso a fórmula conhecida \int t e^{t}dt = e^{t}(t-1)+C):
\int -2t e^{t}\,dt = -2\big(e^{t}(t-1)\big)+C = 2e^{t}(1-t)+C.
Voltando para x (lembre que t=x^{2}/2 e e^{t}=e^{x^{2}/2}) obtenho
\int -x^{3}e^{x^{2}/2}\,dx = 2e^{x^{2}/2}\Big(1-\frac{x^{2}}{2}\Big)+C.
Portanto
u\,e^{x^{2}/2} = 2e^{x^{2}/2}\Big(1-\frac{x^{2}}{2}\Big) + C.
Dividindo por e^{x^{2}/2}:
u(x)=2\Big(1-\frac{x^{2}}{2}\Big) + C e^{-x^{2}/2} = 2 - x^{2} + C e^{-x^{2}/2}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
Lembrando que u=\dfrac{1}{y} e a condição inicial é y(0)=1, temos u(0)=1. Substituindo x=0 na expressão de u:
u(0)=2-0^{2}+C e^{0}=2+C.
De 2+C=1 segue C=-1. Então
u(x)=2-x^{2}-e^{-x^{2}/2}.

Passo 6

Voltar à variável y e escrever a solução final.
Como u=1/y, temos
y(x)=\frac{1}{u(x)}=\frac{1}{\,2-x^{2}-e^{-x^{2}/2}\,}.
Observação útil para prova: esta solução é válida enquanto o denominador 2-x^{2}-e^{-x^{2}/2} for diferente de zero. Em x=0 o denominador vale 1, portanto a condição inicial é atendida.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\,2-x^{2}-e^{-x^{2}/2}\,}

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