Resolva as equações de Bernoulli seguintes
(sugestão resolver
como função de
, isto é,
)
(sugestão resolver
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e sugere resolver
como função de
, ou seja usar
.
O que se pede: encontrar a solução geral
(com constante de integração) que satisfaz a equação dada.
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona
, e . - Foi sugerido inverter a dependência e trabalhar com
como função de .
Passo 2
Usando a sugestão, primeiro escrevemos
a partir da equação dada e então invertemos para obter
.
Da equação
segue
Logo,
Portanto a equação para
é
Passo 3
Reorganizamos a equação para evidenciar sua forma:
Isto é uma equação de Bernoulli (em
como função de
) da forma geral
com
,
e
.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
Aqui
, portanto escolhemos
Passo 4
Calculamos
em função de
. Usando
,
Agora substituímos
pela expressão da equação original:
Multiplicando a relação para
obtemos
Rearranjando:
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolveremos a equação linear
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 6
Integramos em relação a
:
onde
é constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição
. Então
, e
Portanto
Integramos por partes (ou usar fórmula conhecida):
logo
Voltando às variáveis originais (
,
) obtemos
Assim
Dividindo por
resulta
Passo 7
Voltando à variável original
, lembramos que
. Portanto
Invertendo,
onde
é a constante de integração arbitrária real. É conveniente observar que essa expressão só é válida onde o denominador não se anula.