Resolva as equações de Bernoulli seguintes
\left(x y+x^{2} y^{3}\right) y^{\prime}=1
(sugestão resolver x como função de y, isto é, x^{\prime}(y)=\frac{d y}{d x}=\frac{1}{y^{\prime}(x)} )

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(x y+x^{2} y^{3}\right) y' = 1,
e sugere resolver x como função de y, ou seja usar x'(y)=\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}.
O que se pede: encontrar a solução geral x(y) (com constante de integração) que satisfaz a equação dada.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona x, y e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Foi sugerido inverter a dependência e trabalhar com x como função de y.

Passo 2

Usando a sugestão, primeiro escrevemos y' a partir da equação dada e então invertemos para obter \dfrac{dx}{dy}.
Da equação
\left(x y+x^{2} y^{3}\right) y' = 1
segue
y' = \dfrac{1}{x y + x^{2} y^{3}}.
Logo,
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'} = x y + x^{2} y^{3}.
Portanto a equação para x(y) é
\frac{dx}{dy} = x y + x^{2} y^{3}.

Passo 3

Reorganizamos a equação para evidenciar sua forma:
\frac{dx}{dy} - y\,x = y^{3} x^{2}.
Isto é uma equação de Bernoulli (em x como função de y) da forma geral
\frac{dx}{dy} + P(y)\,x = Q(y)\,x^{n},
com P(y) = -y, Q(y)=y^{3} e n=2.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
u = x^{1-n}.
Aqui n=2, portanto escolhemos
u = x^{1-2} = x^{-1}.

Passo 4

Calculamos du/dy em função de dx/dy. Usando u = x^{-1},
\frac{du}{dy} = -x^{-2}\,\frac{dx}{dy}.
Agora substituímos \dfrac{dx}{dy} pela expressão da equação original:
x^{-2}\frac{dx}{dy} = x^{-2}\big(x y + x^{2} y^{3}\big) = x^{-1} y + y^{3}.
Multiplicando a relação para du/dy obtemos
\frac{du}{dy} = -\big(x^{-1} y + y^{3}\big) = -y\,u - y^{3}.
Rearranjando:
\frac{du}{dy} + y\,u = -y^{3}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para u(y).

Passo 5

Resolveremos a equação linear
\frac{du}{dy} + y\,u = -y^{3}.
Calculamos o fator integrante \mu(y):
\mu(y)=\exp\!\left(\int y\,dy\right)=\exp\!\left(\frac{y^{2}}{2}\right).
Multiplicando a equação por \mu(y) obtemos
\frac{d}{dy}\big(u\,e^{y^{2}/2}\big) = -y^{3} e^{y^{2}/2}.

Passo 6

Integramos em relação a y:
u(y)\,e^{y^{2}/2} = \int -y^{3} e^{y^{2}/2}\,dy + C,
onde C é constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição t=\dfrac{y^{2}}{2}. Então dt = y\,dy, e
y^{3} dy = y^{2}\,(y\,dy) = (2t)\,dt.
Portanto
\int -y^{3} e^{y^{2}/2}\,dy = \int -2t e^{t}\,dt.
Integramos por partes (ou usar fórmula conhecida):
\int t e^{t}\,dt = e^{t}(t-1) + \text{const},
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\int -2t e^{t}\,dt = -2 e^{t}(t-1) + \text{const}.
Voltando às variáveis originais ( t=\tfrac{y^{2}}{2}, e^{t}=e^{y^{2}/2}) obtemos
\int -y^{3} e^{y^{2}/2}\,dy = \big(-y^{2}+2\big)\,e^{y^{2}/2} + \text{const}.
Assim
u(y)\,e^{y^{2}/2} = \big(-y^{2}+2\big)\,e^{y^{2}/2} + C.
Dividindo por e^{y^{2}/2} resulta
u(y) = 2 - y^{2} + C e^{-y^{2}/2}.

Passo 7

Voltando à variável original x, lembramos que u = x^{-1}. Portanto
x^{-1} = 2 - y^{2} + C e^{-y^{2}/2}.
Invertendo,
x(y) = \dfrac{1}{\,2 - y^{2} + C e^{-y^{2}/2}\,},
onde C é a constante de integração arbitrária real. É conveniente observar que essa expressão só é válida onde o denominador não se anula.

Resposta

x(y)=\dfrac{1}{\,2 - y^{2} + C e^{-y^{2}/2}\,},\qquad C\in\mathbb{R}

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