Resolva as integrais abaixo, encontrando as funções primitivas:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a(s) função(ões) primitiva(s) da integral indefinida
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se a primitiva (ou seja, a família de todas as funções cuja derivada é
). - Lembrete: ao final devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
O que é uma primitiva (ou integral indefinida) e as regras que vamos usar:
- A primitiva de uma função
é qualquer função tal que . - A integral indefinida é escrita como
. - Duas propriedades fundamentais que vamos aplicar:
- Linearidade (soma):
. - Constante fora da integral:
, onde é constante.
- Linearidade (soma):
- A regra do grau (power rule) para polinômios: para
,
Aqui
é um número real (o expoente) e
é a constante de integração.
Essa fórmula funciona porque, ao diferenciar , obtém-se
.
Essa fórmula funciona porque, ao diferenciar
Passo 3
Aplicação da linearidade: separe a integral em duas parcelas usando a soma e a constante:
Passo 4
Calcule cada integral usando a regra do grau:
- Para
use . Pela fórmula,
- Para
use . Pela fórmula,
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Combine os resultados e adicione a constante de integração:
onde
é a constante de integração (qualquer número real).
Passo 6
Verificação rápida (cheque que estamos corretos): derive a primitiva encontrada e confirme que volta ao integrando.
Derivando temos
Derivando
que é exatamente o integrando. Tudo certo!