Resolva as integrais abaixo, encontrando as funções primitivas:
\int\left(x^{2}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a(s) função(ões) primitiva(s) da integral indefinida
\displaystyle \int\left(x^{2}-2 x\right) d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2}-2x.
  • Quer-se a primitiva (ou seja, a família de todas as funções cuja derivada é x^{2}-2x).
  • Lembrete: ao final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

O que é uma primitiva (ou integral indefinida) e as regras que vamos usar:
  • A primitiva de uma função f(x) é qualquer função F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • A integral indefinida é escrita como \displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C.
  • Duas propriedades fundamentais que vamos aplicar:
    1. Linearidade (soma): \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
    2. Constante fora da integral: \displaystyle \int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, onde a é constante.
  • A regra do grau (power rule) para polinômios: para n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real (o expoente) e C é a constante de integração.
Essa fórmula funciona porque, ao diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^n.

Passo 3

Aplicação da linearidade: separe a integral em duas parcelas usando a soma e a constante:
\displaystyle \int\left(x^{2}-2 x\right) d x = \int x^{2}\,dx \;-\; 2\int x\,dx.

Passo 4

Calcule cada integral usando a regra do grau:
  • Para \displaystyle \int x^{2}\,dx use n=2. Pela fórmula,
\displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
  • Para \displaystyle \int x\,dx use n=1. Pela fórmula,
\displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando por -2 obtemos
-2\int x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.

Passo 5

Combine os resultados e adicione a constante de integração:
\displaystyle \int\left(x^{2}-2 x\right) d x = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + C,
onde C é a constante de integração (qualquer número real).

Passo 6

Verificação rápida (cheque que estamos corretos): derive a primitiva encontrada e confirme que volta ao integrando.
Derivando \displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+C temos
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)-\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}\text{(C)}=x^{2}-2x+0,
que é exatamente o integrando. Tudo certo!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+C

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