Resolva as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: x^{2}+3x.
  • Intervalo de integração: x varia de 1 até 2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para calcular uma integral definida de um polinômio, usamos duas ideias simples e fundamentais:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (f+g)=\int f+\int g e \displaystyle \int c\cdot f = c\int f, onde c é constante.
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui vamos primeiro encontrar uma primitiva F(x) (uma antiderivada) de x^{2}+3x e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando variáveis: x é a variável de integração, n é o expoente, a=1 e b=2 são os limites.

Passo 3

Calcular a primitiva termo a termo.
  • Para \displaystyle x^{2}, aplicando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_{1}.
  • Para \displaystyle 3x, fatoramos a constante 3 e integramos x (que é x^{1}):
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{2} = \frac{3x^{2}}{2} + C_{2}.
Somando as duas primitivas (constantes podem ser combinadas num único C), uma primitiva geral de x^{2}+3x é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx = F(2)-F(1).
Calcule F(2):
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{3\cdot 2^{2}}{2} = \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 4}{2} = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} = \frac{8}{3} + 6.
Escrevendo com denominador comum 3:
F(2) = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{26}{3}.
Calcule F(1):
F(1) = \frac{1^{3}}{3} + \frac{3\cdot 1^{2}}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}.
Denominador comum 6:
F(1) = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6}.
Agora a diferença:
F(2)-F(1) = \frac{26}{3} - \frac{11}{6}.
Colocar em denominador comum 6:
\frac{26}{3} = \frac{52}{6},\quad \text{então}\quad \frac{52}{6}-\frac{11}{6}=\frac{41}{6}.ã

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: a integral mede a “área algébrica” sob a curva x^{2}+3x entre x=1 e x=2. Para polinômios, basta saber a regra da potência e a linearidade; pratique integrar termo a termo e sempre verifique os cálculos de frações com denominadores comuns para evitar erros.

Resposta

\frac{41}{6}

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