Resolva as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo de integração:
varia de até .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para calcular uma integral definida de um polinômio, usamos duas ideias simples e fundamentais:
- Linearidade da integral:
e , onde é constante. - Regra da potência (antiderivada): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui vamos primeiro encontrar uma primitiva
(uma antiderivada) de
e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Explicando variáveis:
é a variável de integração,
é o expoente,
e
são os limites.
Passo 3
Calcular a primitiva termo a termo.
- Para
, aplicando a regra da potência com :
- Para
, fatoramos a constante e integramos (que é ):
Somando as duas primitivas (constantes podem ser combinadas num único
), uma primitiva geral de
é
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule
:
Escrevendo com denominador comum
:
Calcule
:
Denominador comum
:
Agora a diferença:
Colocar em denominador comum
:
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova: a integral mede a “área algébrica” sob a curva
entre
e
. Para polinômios, basta saber a regra da potência e a linearidade; pratique integrar termo a termo e sempre verifique os cálculos de frações com denominadores comuns para evitar erros.