Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{2}-9}{x+3}-x+3

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2}-9}{x+3}-x+3.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão original contém uma fração com denominador \,x+3.
  • Isso implica que a expressão original não está definida quando \,x+3=0, isto é, quando \,x=-3.
    O objetivo é transformar e simplificar algebricamente essa expressão, cuidando das restrições de domínio.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador \,x^{2}-9. Existe uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos identificar a=x e b=3. Aplicando a identidade:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Explicando devagar: isso funciona porque ao multiplicar (x-3)(x+3) obtemos x\cdot x + x\cdot 3 -3\cdot x -3\cdot 3 = x^{2} +3x -3x -9 = x^{2}-9.

Passo 3

Reescrevendo a fração usando a fatoração:
\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}.
Agora, regra importante de frações algébricas: se um fator aparece no numerador e no denominador, pode-se simplificá-lo (cancelá-lo) desde que esse fator seja diferente de zero. Aqui o fator comum é (x+3). Como sabemos do Passo 1, (x+3)\neq0 quando \,x\neq-3. Portanto, para \,x\neq-3 podemos cancelar (x+3) e obter:
\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3\quad\text{(válido para \(\,x\neq-3\)).}á

Passo 4

Substituindo essa simplificação na expressão original (lembrando a restrição \,x\neq-3):
\frac{x^{2}-9}{x+3}-x+3=(x-3)-x+3.
Agora simplificamos passo a passo os termos semelhantes:
(x-3)-x+3 = x - 3 - x + 3.
Agrupando os termos x e os termos constantes separadamente:
(x - x) + (-3 + 3) = 0 + 0 = 0.

Passo 5

Conclusão lógica sobre domínio e resultado: a simplificação algébrica levou a 0, mas a operação de cancelar (x+3) só foi legítima para \,x\neq-3. Portanto a identidade simplificada é verdadeira para todos os x exceto x=-3. No ponto x=-3 a expressão original é indefinida (divisão por zero), então não podemos atribuir o valor 0 naquele ponto — há uma descontinuidade removível.
Como verificação rápida, escolhemos um valor numérico qualquer, por exemplo x=1:
\frac{1^{2}-9}{1+3}-1+3=\frac{-8}{4}-1+3=-2-1+3=0,
confirmando a simplificação.

Resposta

0,\; \text{para } x\neq -3

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