Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão original contém uma fração com denominador
. - Isso implica que a expressão original não está definida quando
, isto é, quando .
O objetivo é transformar e simplificar algebricamente essa expressão, cuidando das restrições de domínio.
Passo 2
Vamos olhar para o numerador
. Existe uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados:
Aqui podemos identificar
e
. Aplicando a identidade:
Explicando devagar: isso funciona porque ao multiplicar
obtemos
.
Passo 3
Reescrevendo a fração usando a fatoração:
Agora, regra importante de frações algébricas: se um fator aparece no numerador e no denominador, pode-se simplificá-lo (cancelá-lo) desde que esse fator seja diferente de zero. Aqui o fator comum é
. Como sabemos do Passo 1,
quando
. Portanto, para
podemos cancelar
e obter:
Passo 4
Substituindo essa simplificação na expressão original (lembrando a restrição
):
Agora simplificamos passo a passo os termos semelhantes:
Agrupando os termos
e os termos constantes separadamente:
Passo 5
Conclusão lógica sobre domínio e resultado: a simplificação algébrica levou a
, mas a operação de cancelar
só foi legítima para
. Portanto a identidade simplificada é verdadeira para todos os
exceto
. No ponto
a expressão original é indefinida (divisão por zero), então não podemos atribuir o valor
naquele ponto — há uma descontinuidade removível.
Como verificação rápida, escolhemos um valor numérico qualquer, por exemplo
:
confirmando a simplificação.