Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a expressão polinomial
e pede para dividi-la pelo polinômio
. Em outras palavras, o que se quer é encontrar o quociente (e eventualmente o resto) da divisão
Informações relevantes que temos:
- O dividendo é
. - O divisor é
. - O objetivo é efetuar a divisão e, quando possível, simplificar a expressão (ou seja, ver se divide exatamente).
Passo 2
Antes de começar a dividir, vou explicar duas ideias úteis que você pode usar na prova (não se assuste, é simples e muito prático):
-
Teorema do Resto (forma prática): Se você divide um polinômio
por , então o resto dessa divisão é . No nosso caso o divisor é , que é . Então, se , o resto é zero e é fator de . -
Fatoração por inspeção / produto de raízes: Para um polinômio quadrático
, se existir fatoração em fatores lineares com coeficiente 1 (i.e. ), então e . Aqui , então buscamos dois números cujo produto seja e cuja soma seja .
Vou aplicar essas duas ideias passo a passo.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Resto para checar se
divide exatamente
. Defino
e calculo
:
Como
, o resto da divisão por
é
. Isso significa que
é um fator de
e a divisão é exata (não haverá resto).
Passo 4
Agora uso fatoração direta do polinômio
. Procuramos dois números
e
tais que:
Os pares de números que multiplicam para
são
,
,
,
. Destes,
soma
. Logo
Observe que aqui eu peguei diretamente a estrutura padrão de um quadrático com coeficiente líder
e escolhi os termos que dão soma e produto corretos.
Passo 5
A partir da fatoração
, fica claro fazer a divisão:
Como
é um fator comum no numerador e no denominador e não estamos impondo restrições adicionais ao
(além de
se estivéssemos a considerar expressão racional), podemos simplificar pela cancelamento:
Portanto a divisão é exata e o quociente é
.
Passo 6
(Para reforçar: faço também a divisão por método algébrico padrão — divisão sintética — que costuma ser muito rápida em provas quando o divisor é da forma
.) Como o divisor é
, tomo
. Coeficientes do dividendo
são
.
Divisão sintética com
:
- Trago o
para baixo. - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: .
Os coeficientes resultantes são
e resto
. Isso corresponde ao quociente
e resto
, confirmando o resultado anterior.