Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\left(x^{2}+x-6\right) \div(x+3)

Passo 1

O enunciado dá a expressão polinomial \left(x^{2}+x-6\right) e pede para dividi-la pelo polinômio (x+3). Em outras palavras, o que se quer é encontrar o quociente (e eventualmente o resto) da divisão
\frac{x^{2}+x-6}{x+3}.
Informações relevantes que temos:
  • O dividendo é x^{2}+x-6.
  • O divisor é x+3.
  • O objetivo é efetuar a divisão e, quando possível, simplificar a expressão (ou seja, ver se divide exatamente).

Passo 2

Antes de começar a dividir, vou explicar duas ideias úteis que você pode usar na prova (não se assuste, é simples e muito prático):
  1. Teorema do Resto (forma prática): Se você divide um polinômio f(x) por (x-c), então o resto dessa divisão é f\text{(c)}. No nosso caso o divisor é x+3, que é x-(-3). Então, se f(-3)=0, o resto é zero e (x+3) é fator de f(x).
  2. Fatoração por inspeção / produto de raízes: Para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c, se existir fatoração em fatores lineares com coeficiente 1 (i.e. (x+p)(x+q)), então p+q=b e p\cdot q=c. Aqui a=1, então buscamos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja 1.
Vou aplicar essas duas ideias passo a passo.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Resto para checar se (x+3) divide exatamente x^{2}+x-6. Defino f(x)=x^{2}+x-6 e calculo f(-3):
f(-3)=(-3)^{2}+(-3)-6 = 9-3-6 = 0.
Como f(-3)=0, o resto da divisão por (x+3) é 0. Isso significa que (x+3) é um fator de f(x) e a divisão é exata (não haverá resto).

Passo 4

Agora uso fatoração direta do polinômio x^{2}+x-6. Procuramos dois números p e q tais que:
p+q=1 \quad\text{e}\quad p\cdot q=-6.
Os pares de números que multiplicam para -6 são (1,-6), (-1,6), (2,-3), (-2,3). Destes, (-2,3) soma 1. Logo
x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).
Observe que aqui eu peguei diretamente a estrutura padrão de um quadrático com coeficiente líder 1 e escolhi os termos que dão soma e produto corretos.

Passo 5

A partir da fatoração (x-2)(x+3), fica claro fazer a divisão:
\frac{x^{2}+x-6}{x+3} = \frac{(x-2)(x+3)}{x+3}.
Como x+3 é um fator comum no numerador e no denominador e não estamos impondo restrições adicionais ao x (além de x\neq -3 se estivéssemos a considerar expressão racional), podemos simplificar pela cancelamento:
\frac{(x-2)(x+3)}{x+3} = x-2.
Portanto a divisão é exata e o quociente é x-2.

Passo 6

(Para reforçar: faço também a divisão por método algébrico padrão — divisão sintética — que costuma ser muito rápida em provas quando o divisor é da forma x-c.) Como o divisor é x+3, tomo c=-3. Coeficientes do dividendo x^{2}+x-6 são 1,\;1,\;-6.
Divisão sintética com c=-3:
  • Trago o 1 para baixo.
  • Multiplico -3\cdot 1 = -3 e somo ao próximo coeficiente: 1+(-3)=-2.
  • Multiplico -3\cdot(-2)=6 e somo ao próximo coeficiente: -6+6=0.
Os coeficientes resultantes são 1,\;-2 e resto 0. Isso corresponde ao quociente 1\cdot x + (-2) = x-2 e resto 0, confirmando o resultado anterior.

Resposta

x-2

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