Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
(x-4)(x+4)-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
(x-4)(x+4)-x^{2}.
As informações dadas são exatamente os símbolos que aparecem ali: x é uma variável e os números 4 aparecem nas expressões. O objetivo é calcular e reduzir essa expressão até a forma mais simples possível.

Passo 2

Vou lembrar duas coisas úteis e fáceis de usar:
  • Propriedade distributiva (também chamada de FOIL quando multiplicamos dois binômios): para quaisquer números ou expressões a,b,c,d,
(a+b)(c+d)=a c + a d + b c + b d.
Isso significa que multiplicamos cada termo do primeiro parêntesis por cada termo do segundo.
  • Identidade de diferença de quadrados: para quaisquer A e B,
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.
Essa identidade é simplesmente um caso particular da distributiva, e costuma poupar contas quando vemos fatores opostos.
Um exemplo numérico rápido para fixar: (5-2)(5+2)=3\cdot7=21 e pela identidade 5^{2}-2^{2}=25-4=21. Está coerente.

Passo 3

Aplicando a identidade de diferença de quadrados à parte (x-4)(x+4), com A=x e B=4, obtemos
(x-4)(x+4)=x^{2}-4^{2}=x^{2}-16.
Se preferir ver pelo FOIL:
(x-4)(x+4)=x\cdot x + x\cdot 4 + (-4)\cdot x + (-4)\cdot 4 = x^{2}+4x-4x-16 = x^{2}-16,
onde os termos +4x e -4x se cancelam.

Passo 4

Agora substituo essa expansão na expressão original:
(x-4)(x+4)-x^{2} = (x^{2}-16)-x^{2}.
Agrupando os termos semelhantes, temos x^{2}-x^{2}=0, portanto sobra apenas
(x^{2}-16)-x^{2}=-16.

Passo 5

Verificação rápida com um valor específico de x (serve para ganhar confiança): escolha x=5. Então
(5-4)(5+4)-5^{2}=1\cdot9-25=9-25=-16,
o que confirma que o resultado é -16, independente de x.

Resposta

-16

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