Resolva o problema de valor inicial:
x \frac{d y}{d x}+2 y=\sin x, \quad x>0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

Passo 1

Vou listar de forma bem clara o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • Enunciado: x\frac{dy}{dx}+2y=\sin x,\qquad x>0,
com condição inicial y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
  • O que é pedido: encontrar a função y(x) definida para x>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
  • Informações relevantes a notar:
    • O enunciado garante x>0, então é permitido dividir a equação por x sem problemas (o denominador não se anula).
    • A condição inicial está em x=\tfrac{\pi}{2}, que pertence ao domínio x>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (essa é uma etapa mecânica e essencial).
Dividindo ambos os lados por x (permitido porque x>0) obtemos a forma
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}\,y=\frac{\sin x}{x}.
Aqui estou escrevendo a equação na forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde, explicitamente, \;p(x)=\dfrac{2}{x}\; e \;q(x)=\dfrac{\sin x}{x}\;.
Explicando devagar o que essas coisas significam:
  • \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • p(x) é a função que multiplica y na forma padrão; aqui ela é \dfrac{2}{x}.
  • q(x) é o termo não-homogêneo (fonte), aqui \dfrac{\sin x}{x}.

Passo 3

Apresentar a técnica que vamos usar e explicar por que ela funciona: fator integrante.
Para resolver uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x), usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)\,y, isto é,
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Assim a equação fica integrável diretamente.
Agora calculamos o fator integrante para nosso caso: p(x)=\dfrac{2}{x}, então
\int p(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x=\ln\big(x^{2}\big),
portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(x^{2})\big)=x^{2}.
Observação: para x>0 essa manipulação com \ln x e depois exponencial é bem definida, por isso não há problema.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=x^{2} e escrever como derivada de um produto.
Multiplicando a forma padrão por x^{2} obtemos
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot\frac{\sin x}{x}.
Simplificando os termos:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = x\sin x.
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x\sin x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x.
Integramos a igualdade obtida:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)\,dx = \int x\sin x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{2}y. No lado direito precisamos calcular \int x\sin x\,dx. Vamos fazer isso com integração por partes — e eu vou explicar esse método passo a passo.
Regra da integração por partes: para integrar \int u\,dv escolhe-se u e dv de modo que
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv.
Escolhas convenientes aqui: tomar u=x e dv=\sin x\,dx. Então:
  • u=x\Rightarrow du=dx.
  • dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x (pois \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x).
Aplicando a fórmula:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = x(-\cos x)-\int (-\cos x)\,dx.
Isso é
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto, integrando a igualdade anterior obtemos
x^{2}y = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 6

Isolar y e aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
Isolando y:
y(x)=\frac{-x\cos x+\sin x + C}{x^{2}}.
Agora usamos a condição inicial \;y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\;. Substituindo x=\dfrac{\pi}{2}:
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1,
  • e \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}\neq 0 (denominador não anula).
Então
0 = y\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \frac{-\tfrac{\pi}{2}\cdot 0 + 1 + C}{\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}} = \frac{1+C}{\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}}.
Daí segue 1+C=0, logo C=-1.
Substituindo C=-1 na expressão geral:
y(x)=\frac{-x\cos x + \sin x -1}{x^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (pra dar confiança): a solução encontrada é definida para x>0 e satisfaz a condição inicial, pois em x=\tfrac{\pi}{2} o numerador é -\tfrac{\pi}{2}\cdot 0 + 1 -1 =0, então y(\tfrac{\pi}{2})=0. Se alguém quiser pode derivar essa expressão e substituir na equação original para checar que a igualdade é satisfeita — o procedimento que fizemos garante isso.

Resposta

y(x)=\frac{\sin x - x\cos x - 1}{x^{2}},\qquad x>0

Exercícios relacionados