Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Vou listar de forma bem clara o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
- Enunciado:
com condição inicial
-
O que é pedido: encontrar a função
definida para que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. -
Informações relevantes a notar:
- O enunciado garante
, então é permitido dividir a equação por sem problemas (o denominador não se anula). - A condição inicial está em
, que pertence ao domínio .
- O enunciado garante
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (essa é uma etapa mecânica e essencial).
Dividindo ambos os lados por
(permitido porque
) obtemos a forma
Aqui estou escrevendo a equação na forma
onde, explicitamente,
e
Explicando devagar o que essas coisas significam:
-
é a derivada de em relação a . -
é a função que multiplica na forma padrão; aqui ela é . -
é o termo não-homogêneo (fonte), aqui .
Passo 3
Apresentar a técnica que vamos usar e explicar por que ela funciona: fator integrante.
Para resolver uma equação linear de primeira ordem
, usa-se o fator integrante
definido por
A razão: multiplicando a equação por
o lado esquerdo se torna a derivada do produto
, isto é,
Assim a equação fica integrável diretamente.
Agora calculamos o fator integrante para nosso caso:
, então
portanto
Observação: para
essa manipulação com
e depois exponencial é bem definida, por isso não há problema.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e escrever como derivada de um produto.
Multiplicando a forma padrão por
obtemos
Simplificando os termos:
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integramos a igualdade obtida:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito precisamos calcular
. Vamos fazer isso com integração por partes — e eu vou explicar esse método passo a passo.
Regra da integração por partes: para integrar
escolhe-se
e
de modo que
onde
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Escolhas convenientes aqui: tomar
e
. Então:
-
. -
(pois ).
Aplicando a fórmula:
Isso é
onde
é a constante de integração.
Portanto, integrando a igualdade anterior obtemos
Passo 6
Isolar
e aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
Isolando
:
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
:
-
, -
, - e
(denominador não anula).
Então
Daí segue
, logo
.
Substituindo
na expressão geral:
Passo 7
Verificação rápida (pra dar confiança): a solução encontrada é definida para
e satisfaz a condição inicial, pois em
o numerador é
, então
. Se alguém quiser pode derivar essa expressão e substituir na equação original para checar que a igualdade é satisfeita — o procedimento que fizemos garante isso.