Resolva os problemas abaixo:
a) Obtenha a razão da P.A em que a_{2}=9 e a_{12}=45.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a razão da P.A. e fornece duas informações sobre termos da progressão. Os dados úteis são:
  • a_{2}=9.
  • a_{12}=45.
A pergunta explícita é: qual é a razão r da P.A. que satisfaz esses dois dados?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral de uma progressão aritmética (P.A.). Para uma P.A. com primeiro termo a_{1} e razão r, o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}+(n-1)r.
Explicando cada símbolo:
  • a_{n} é o termo de posição n.
  • a_{1} é o primeiro termo da P.A.
  • r é a razão (diferença constante entre termos).
  • n é a posição do termo (um número natural).
Essa fórmula é fundamental: ela expressa qualquer termo da P.A. em função de a_{1} e r.

Passo 3

Usando a fórmula para os termos dados:
  • Para n=2: \;a_{2}=a_{1}+(2-1)r=a_{1}+r. Como a_{2}=9, obtemos a equação
a_{1}+r=9. \tag{1}
  • Para n=12: \;a_{12}=a_{1}+(12-1)r=a_{1}+11r. Como a_{12}=45, obtemos
a_{1}+11r=45. \tag{2}
Agora temos um sistema de duas equações lineares nas incógnitas a_{1} e r.

Passo 4

Eliminamos a_{1} subtraindo a equação (1) de (2):
(a_{1}+11r)-(a_{1}+r)=45-9.
No lado esquerdo os a_{1} se anulam, sobrando 11r-r=10r. No lado direito 45-9=36. Assim:
10r=36.
Dividindo ambos os lados por 10 obtemos
r=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}.
Como número decimal (usando vírgula) isso é
r=3,6.

Passo 5

(Faça sempre uma checagem rápida para ter certeza.) Podemos encontrar a_{1} usando (1):
a_{1}=9-r=9-\frac{18}{5}=\frac{45-18}{5}=\frac{27}{5}=5,4.
Verificando a_{12}:
a_{12}=a_{1}+11r=\frac{27}{5}+11\cdot\frac{18}{5}=\frac{27+198}{5}=\frac{225}{5}=45,
o que bate com o dado do enunciado. Então r=\dfrac{18}{5}=3,6 está correto.

Resposta

\displaystyle r=\frac{18}{5}=3,6

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