Resolva os problemas abaixo:
d) Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja
.
d) Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja
Passo 1
O enunciado pede: entre
e
devemos inserir um certo número de meios aritméticos (ou seja, completar uma progressão aritmética). Queremos que a “razão da interpolação” seja
. As informações dadas são:
- primeiro termo:
; - último termo (após inserir os meios):
se inserimos meios aritméticos (total de termos ); - a “razão da interpolação” pedida é a razão (diferença comum) da progressão aritmética e vale
.
Passo 2
Conceito importante (aula curta): quando se inserem
meios aritméticos entre dois números, os termos resultantes formam uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo
e último termo
. Em uma PA, o
-ésimo termo é dado por
onde
é a razão (diferença comum). Em particular, o último termo vale
Essa fórmula vem da ideia de que cada salto de um termo ao seguinte acrescenta exatamente
.
Passo 3
Usando os valores do problema, substituímos
e
na fórmula do último termo:
Isolando
,
Isto é, a razão da PA que interpola
e
com
meios é
.
Passo 4
O enunciado exige que essa razão seja
. Portanto igualamos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Verificação rápida (controle de erro): com
temos
. A sequência começa
e depois de
meios (total
termos) o último é realmente
. Tudo bate.
Resposta
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