Resolva os problemas abaixo:
d) Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede: entre 12 e 34 devemos inserir um certo número de meios aritméticos (ou seja, completar uma progressão aritmética). Queremos que a “razão da interpolação” seja \dfrac{1}{2}. As informações dadas são:
  • primeiro termo: a_1=12;
  • último termo (após inserir os meios): a_{n+2}=34 se inserimos n meios aritméticos (total de termos n+2);
  • a “razão da interpolação” pedida é a razão (diferença comum) da progressão aritmética e vale \dfrac{1}{2}.

Passo 2

Conceito importante (aula curta): quando se inserem n meios aritméticos entre dois números, os termos resultantes formam uma progressão aritmética (PA) com primeiro termo a_1 e último termo a_{n+2}. Em uma PA, o k-ésimo termo é dado por
a_k = a_1 + (k-1)d,
onde d é a razão (diferença comum). Em particular, o último termo vale
a_{n+2} = a_1 + (n+1)d.
Essa fórmula vem da ideia de que cada salto de um termo ao seguinte acrescenta exatamente d.

Passo 3

Usando os valores do problema, substituímos a_{n+2}=34 e a_1=12 na fórmula do último termo:
34 = 12 + (n+1)d.
Isolando d,
d = \frac{34-12}{n+1} = \frac{22}{n+1}.
Isto é, a razão da PA que interpola 12 e 34 com n meios é \dfrac{22}{n+1}.

Passo 4

O enunciado exige que essa razão seja \dfrac{1}{2}. Portanto igualamos:
\frac{22}{n+1} = \frac{1}{2}.
Resolvendo para n:
22\cdot 2 = n+1 \quad\Longrightarrow\quad 44 = n+1 \quad\Longrightarrow\quad n = 43.

Passo 5

Verificação rápida (controle de erro): com n=43 temos d=\dfrac{22}{44}=\dfrac{1}{2}. A sequência começa 12,\;12{,}5,\;13,\;13{,}5,\dots e depois de 43 meios (total 45 termos) o último é realmente 34. Tudo bate.

Resposta

43

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