Resolva os problemas a seguir:
d) Prove que se \left(\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{x+z}\right) é uma P.A, então \left(z^{2}, x^{2}, y^{2}\right) também é.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(\dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{x+z}\right) e afirma que ela é uma P.A. (progressão aritmética). O que se pede: provar que então a sequência \left(z^{2},x^{2},y^{2}\right) também é uma P.A.
Informações úteis dadas:
  • Os termos \dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{x+z} formam uma P.A.
  • Pressupõe-se que os denominadores x+y, y+z e x+z não são zero (caso contrário as frações não estariam definidas).

Passo 2

Lembrete sobre a definição de P.A. para três termos: três números a,b,c estão em P.A. se, e só se,
2b=a+c.
Aqui vamos aplicar essa definição ao triplo de frações dado.

Passo 3

Aplicando a condição de P.A. aos termos dados, obtemos
2\cdot\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}.

Passo 4

Somamos as duas frações do lado direito com denominador comum (x+y)(x+z). Calculamos o numerador:
\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}=\frac{x+z}{(x+y)(x+z)}+\frac{x+y}{(x+y)(x+z)} =\frac{(x+z)+(x+y)}{(x+y)(x+z)}.
Simplificando o numerador:
(x+z)+(x+y)=2x+y+z.
Logo
\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}=\frac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}.

Passo 5

Substituindo na igualdade do Passo 3, temos
\frac{2}{y+z}=\frac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}.
Agora eliminamos denominadores por multiplicação cruzada (lembrando que os denominadores são não nulos):
2(x+y)(x+z)=(y+z)(2x+y+z).

Passo 6

Expandimos ambos os lados cuidadosamente.
Primeiro o lado esquerdo:
2(x+y)(x+z)=2\big(x^2+xz+xy+yz\big)=2x^2+2xz+2xy+2yz.
Agora o lado direito:
(y+z)(2x+y+z)=2x(y+z)+(y+z)^2=2xy+2xz+y^2+2yz+z^2.

Passo 7

Igualando as expansões:
2x^2+2xz+2xy+2yz=2xy+2xz+y^2+2yz+z^2.
Cancelam-se os termos iguais em ambos os lados: 2xy, 2xz e 2yz. Restando
2x^2 = y^2+z^2.

Passo 8

A igualdade \;2x^2=y^2+z^2\; é exatamente a condição de P.A. para o triplo \big(z^{2},x^{2},y^{2}\big), pois diz que
2x^{2}=z^{2}+y^{2}.
Portanto \left(z^{2},x^{2},y^{2}\right) é uma progressão aritmética.

Resposta

\left(z^{2},x^{2},y^{2}\right) é uma P.A., pois 2x^{2}=y^{2}+z^{2}.

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