Resolva os problemas a seguir:
d) Prove que se
é uma P.A, então
também é.
d) Prove que se
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e afirma que ela é uma P.A. (progressão aritmética). O que se pede: provar que então a sequência
também é uma P.A.
Informações úteis dadas:
Informações úteis dadas:
- Os termos
formam uma P.A. - Pressupõe-se que os denominadores
, e não são zero (caso contrário as frações não estariam definidas).
Passo 2
Lembrete sobre a definição de P.A. para três termos: três números
estão em P.A. se, e só se,
Aqui vamos aplicar essa definição ao triplo de frações dado.
Passo 3
Aplicando a condição de P.A. aos termos dados, obtemos
Passo 4
Somamos as duas frações do lado direito com denominador comum
. Calculamos o numerador:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 5
Substituindo na igualdade do Passo 3, temos
Agora eliminamos denominadores por multiplicação cruzada (lembrando que os denominadores são não nulos):
Passo 6
Expandimos ambos os lados cuidadosamente.
Primeiro o lado esquerdo:
Agora o lado direito:
Passo 7
Igualando as expansões:
Cancelam-se os termos iguais em ambos os lados:
,
e
. Restando
Passo 8
A igualdade
é exatamente a condição de P.A. para o triplo
, pois diz que
Portanto
é uma progressão aritmética.