Resolva os problemas a seguir:
a) Obtenha uma P.A de três termos sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é
\frac{23}{30}.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética (P.A.) de três termos e informa duas coisas:
  • A soma dos três termos é \,18.
  • A soma dos inversos desses três termos é \,\dfrac{23}{30}.
O que se pede: encontrar os três termos da P.A.

Passo 2

Escolhemos um jeito padrão e simétrico de representar uma P.A. de três termos: sejam os termos
x-d,\quad x,\quad x+d,
onde x é o termo central e d é a razão (pode ser positiva, negativa ou zero). Essa escolha é útil porque os termos ficam explicitamente simétricos em torno do termo do meio.

Passo 3

Usando a informação da soma dos termos:
(x-d)+x+(x+d)=3x=18.
Daí obtemos
x=6.
Portanto os termos são
6-d,\quad 6,\quad 6+d.

Passo 4

Agora usamos a informação sobre a soma dos inversos. Escrevemos a equação
\frac{1}{6-d}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+d}=\frac{23}{30}.

Passo 5

Para somar as frações do lado esquerdo, escolhemos o denominador comum \,6(6-d)(6+d)=6(36-d^{2}). Calculamos o numerador resultante somando cada fração com esse denominador comum:
\frac{1}{6-d}=\frac{6(6+d)}{6(6-d)(6+d)},
\frac{1}{6}=\frac{(6-d)(6+d)}{6(6-d)(6+d)},
\frac{1}{6+d}=\frac{6(6-d)}{6(6-d)(6+d)}.
Somando os numeradores temos
6(6+d)+(36-d^{2})+6(6-d)=108-d^{2}.
Portanto a soma à esquerda fica
\frac{108-d^{2}}{216-6d^{2}}.

Passo 6

Igualamos à fração dada e resolvemos para d:
\frac{108-d^{2}}{216-6d^{2}}=\frac{23}{30}.
Multiplicando em cruz:
30(108-d^{2})=23(216-6d^{2}).
Fazendo as contas:
3240-30d^{2}=4968-138d^{2}.
Isolando os termos em d^{2}:
-30d^{2}+138d^{2}=4968-3240
108d^{2}=1728
d^{2}=\frac{1728}{108}=16.
Logo
d=\pm 4.

Passo 7

Calculamos os termos para as duas possibilidades:
  • Se d=4, os termos são 6-4=2,\;6,\;6+4=10. A P.A. é 2,\,6,\,10.
  • Se d=-4, os termos são 6-(-4)=10,\;6,\;6+(-4)=2. A P.A. é 10,\,6,\,2 (mesma P.A. com razão negativa).
Podemos checar rapidamente a soma dos inversos para 2,6,10:
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{15+5+3}{30}=\frac{23}{30},
confirma.

Resposta

2,\;6,\;10
10,\;6,\;2

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