Resolva os problemas a seguir:
a) Obtenha uma P.A de três termos sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é
.
a) Obtenha uma P.A de três termos sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é
Passo 1
O enunciado dá uma progressão aritmética (P.A.) de três termos e informa duas coisas:
- A soma dos três termos é
. - A soma dos inversos desses três termos é
.
O que se pede: encontrar os três termos da P.A.
Passo 2
Escolhemos um jeito padrão e simétrico de representar uma P.A. de três termos: sejam os termos
onde
é o termo central e
é a razão (pode ser positiva, negativa ou zero). Essa escolha é útil porque os termos ficam explicitamente simétricos em torno do termo do meio.
Passo 3
Usando a informação da soma dos termos:
Daí obtemos
Portanto os termos são
Passo 4
Agora usamos a informação sobre a soma dos inversos. Escrevemos a equação
Passo 5
Para somar as frações do lado esquerdo, escolhemos o denominador comum
. Calculamos o numerador resultante somando cada fração com esse denominador comum:
Somando os numeradores temos
Portanto a soma à esquerda fica
Passo 6
Igualamos à fração dada e resolvemos para
:
Multiplicando em cruz:
Fazendo as contas:
Isolando os termos em
:
Logo
Passo 7
Calculamos os termos para as duas possibilidades:
- Se
, os termos são . A P.A. é . - Se
, os termos são . A P.A. é (mesma P.A. com razão negativa).
Podemos checar rapidamente a soma dos inversos para
:
confirma.