Resolva os problemas de taxa de variação (taxas relacionadas):
O raio de uma esfera cresce a uma taxa de
. Quão rápido o volume da esfera está crescendo quando o raio for 10 cm ?
O raio de uma esfera cresce a uma taxa de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- A taxa de variação do raio da esfera é
. - Queremos saber a que taxa o volume está crescendo no instante em que o raio vale
.
Pergunta explícita: calcular
quando
.
Passo 2
Relacionamento entre volume e raio: a fórmula do volume de uma esfera em função do raio é
Aqui
é o volume em
e
é o raio em
. Essa fórmula é a que liga as duas quantidades que aparecem no problema.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação ao tempo
. Como
e
dependem do tempo, usamos a regra da cadeia. Lembrete rápido da regra usada:
- Se
e , então . Essa é a combinação da regra da potência (derivada de é ) com a regra da cadeia (multiplica por ).
Aplicando isso a
:
Simplificando os
:
Explicando: a derivada do termo
é
; o fator constante
permanece e os 3 se cancelam.
Passo 4
Substituir os valores dados:
e
.
Calcule passo a passo:
Portanto
Valor aproximado (se preferir número decimal):
Passo 5
Interpretação rápida: o volume está crescendo a uma taxa de
naquele instante. O sinal positivo indica que o volume aumenta (faz sentido, pois o raio está aumentando).