Resolva os problemas de taxa de variação (taxas relacionadas):
O raio de uma esfera cresce a uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Quão rápido o volume da esfera está crescendo quando o raio for 10 cm ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A taxa de variação do raio da esfera é \dfrac{dr}{dt}=2\\ \text{cm/s}.
  • Queremos saber a que taxa o volume está crescendo no instante em que o raio vale r=10\\ \text{cm}.
Pergunta explícita: calcular \dfrac{dV}{dt} quando r=10\\ \text{cm}.

Passo 2

Relacionamento entre volume e raio: a fórmula do volume de uma esfera em função do raio é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui V é o volume em \text{cm}^{3} e r é o raio em \text{cm}. Essa fórmula é a que liga as duas quantidades que aparecem no problema.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação ao tempo t. Como V e r dependem do tempo, usamos a regra da cadeia. Lembrete rápido da regra usada:
  • Se y=u^{3} e u=u(t), então \dfrac{dy}{dt}=3u^{2}\dfrac{du}{dt}. Essa é a combinação da regra da potência (derivada de u^{3} é 3u^{2}) com a regra da cadeia (multiplica por du/dt).
Aplicando isso a V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}:
\frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}\cdot\frac{dr}{dt}.
Simplificando os 3:
\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}.
Explicando: a derivada do termo r^{3} é 3r^{2}\dfrac{dr}{dt}; o fator constante \dfrac{4}{3}\pi permanece e os 3 se cancelam.

Passo 4

Substituir os valores dados: r=10\\ \text{cm} e \dfrac{dr}{dt}=2\\ \text{cm/s}.
\frac{dV}{dt}=4\pi(10)^{2}\cdot 2.
Calcule passo a passo:
(10)^{2}=100, \qquad 4\pi\cdot 100 \cdot 2 = 4\cdot 100\cdot 2\cdot \pi = 800\pi.
Portanto
\frac{dV}{dt}=800\pi\\ \text{cm}^{3}/\text{s}.
Valor aproximado (se preferir número decimal):
800\pi \approx 2513,27\\ \text{cm}^{3}/\text{s}.

Passo 5

Interpretação rápida: o volume está crescendo a uma taxa de 800\pi\\ \text{cm}^{3}/\text{s} naquele instante. O sinal positivo indica que o volume aumenta (faz sentido, pois o raio está aumentando).

Resposta

\dfrac{dV}{dt}=800\pi\\ \text{cm}^{3}/\text{s}\approx 2513,27\\ \text{cm}^{3}/\text{s}

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