Resolva os problemas de taxa de variação (taxas relacionadas):
Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros e raio da base de 4 metros. Se a água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, calcule a taxa de variação do nível da água quando a profundidade for de 5 metros.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (anotações diretas):
  • O tanque tem forma de cone invertido com altura H=10\\ \mathrm{m} e raio da base R=4\\ \mathrm{m}.
  • A água é bombeada para dentro do tanque à taxa \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} (positivo porque o volume está aumentando).
  • Pede-se a taxa de variação da profundidade da água \dfrac{dh}{dt} quando a profundidade (nível) vale h=5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a geometria e as variáveis (muito importante para montar a relação entre raio e altura da água):
  • Ao encher o cone até uma altura h a superfície livre da água forma um círculo de raio r (veja: a água forma um cone semelhante dentro do tanque).
  • Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o cone de água vale a proporção entre raios e alturas:
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}.
  • Substituindo R=4 e H=10 obtemos
\frac{r}{h}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
  • Portanto a relação entre r e h é
r=\frac{2}{5}\,h.
Observação: essa relação é crucial porque o volume do cone depende de r e h, mas só queremos uma equação em função de h (já que pedem \dfrac{dh}{dt}).

Passo 3

Fórmula do volume do cone e substituição da relação r(h):
  • A fórmula do volume de um cone com raio da base r e altura h é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2} h.
Aqui V é o volume de água (em \mathrm{m}^3), r é o raio da superfície livre e h é a profundidade da água (ambos em \mathrm{m}).
  • Substitui-se r=\dfrac{2}{5}h em V:
r^{2}=\left(\frac{2}{5}h\right)^{2}=\frac{4}{25}h^{2}.
V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{4}{25}h^{2}\cdot h=\frac{4\pi}{75}h^{3}.
Portanto temos uma expressão que relaciona V e h apenas em termos de h:
V(h)=\frac{4\pi}{75}h^{3}.

Passo 4

Diferenciação em relação ao tempo (aplicando a regra da cadeia) e interpretação:
  • Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t:
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4\pi}{75}h^{3}\right).
  • A constante \dfrac{4\pi}{75} sai da derivada e aplica-se a regra do poder ( (h^3)'\!=3h^2 h'):
\frac{dV}{dt}=\frac{4\pi}{75}\cdot 3h^{2}\frac{dh}{dt}.
  • Simplificando \dfrac{4\pi}{75}\cdot 3 = \dfrac{4\pi}{25}, obtemos
\frac{dV}{dt}=\frac{4\pi}{25}h^{2}\frac{dh}{dt}.
Aqui \dfrac{dV}{dt} é conhecida (taxa de entrada de água) e queremos \dfrac{dh}{dt}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dh}{dt} e substituindo os valores numéricos:
  • Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{4\pi}{25}h^{2}}=\frac{25}{4\pi h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}.
  • Agora substituímos \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} (dado) e h=5\\ \mathrm{m}:
h^{2}=5^{2}=25.
\frac{dh}{dt}=\frac{25}{4\pi\cdot 25}\cdot 2=\frac{1}{4\pi}\cdot 2=\frac{2}{4\pi}=\frac{1}{2\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.

Passo 6

Interpretação final e aproximação numérica:
  • A taxa obtida \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min} é positiva, o que faz sentido: o nível da água está subindo porque água está sendo bombeada para dentro.
  • Aproximação numérica (usar \pi\approx 3,14159):
\frac{1}{2\pi}\approx 0,159155\ldots \\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\approx 0,1592\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.
Força aí — perto de 0,16\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}: o nível sobe cerca de 16\\ \mathrm{cm} por minuto nessa profundidade.

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\approx 0,1592\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}

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