Resolva os problemas de taxa de variação (taxas relacionadas):
Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros e raio da base de 4 metros. Se a água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
, calcule a taxa de variação do nível da água quando a profundidade for de 5 metros.
Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com altura de 10 metros e raio da base de 4 metros. Se a água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (anotações diretas):
- O tanque tem forma de cone invertido com altura
e raio da base . - A água é bombeada para dentro do tanque à taxa
(positivo porque o volume está aumentando). - Pede-se a taxa de variação da profundidade da água
quando a profundidade (nível) vale .
Passo 2
Entendendo a geometria e as variáveis (muito importante para montar a relação entre raio e altura da água):
- Ao encher o cone até uma altura
a superfície livre da água forma um círculo de raio (veja: a água forma um cone semelhante dentro do tanque). - Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o cone de água vale a proporção entre raios e alturas:
- Substituindo
e obtemos
- Portanto a relação entre
e é
Observação: essa relação é crucial porque o volume do cone depende de
e
, mas só queremos uma equação em função de
(já que pedem
).
Passo 3
Fórmula do volume do cone e substituição da relação
:
- A fórmula do volume de um cone com raio da base
e altura é
Aqui
é o volume de água (em
),
é o raio da superfície livre e
é a profundidade da água (ambos em
).
- Substitui-se
em :
Portanto temos uma expressão que relaciona
e
apenas em termos de
:
Passo 4
Diferenciação em relação ao tempo (aplicando a regra da cadeia) e interpretação:
- Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
:
- A constante
sai da derivada e aplica-se a regra do poder ( ):
- Simplificando
, obtemos
Aqui
é conhecida (taxa de entrada de água) e queremos
.
Passo 5
Isolando
e substituindo os valores numéricos:
- Isolando
:
- Agora substituímos
(dado) e :
Passo 6
Interpretação final e aproximação numérica:
- A taxa obtida
é positiva, o que faz sentido: o nível da água está subindo porque água está sendo bombeada para dentro. - Aproximação numérica (usar
):
Força aí — perto de
: o nível sobe cerca de
por minuto nessa profundidade.