Resolva:
d) Para qualquer
, a soma
dos
primeiros termos de uma P.A é dada por
. Encontre
.
d) Para qualquer
Passo 1
O enunciado dá que, para qualquer
, a soma dos
primeiros termos de uma P.A. é
A pergunta é: encontrar
, o trigésimo termo da progressão aritmética.
Obs.: peguei a fórmula a partir do enunciado (imagem).
Obs.: peguei a fórmula
Passo 2
Uma ideia fundamental (muito útil em provas): a soma dos primeiros
termos e a soma dos primeiros
termos diferem exatamente pelo
-ésimo termo. Em símbolos,
Explicando por que isso vale:
e
. Subtraindo, sobra
.
Passo 3
Aplicando essa relação para
,
Passo 4
Calcular
usando a fórmula dada:
Como
, temos
Passo 5
Calcular
:
Como
, temos
Passo 6
Subtrair para obter
:
Passo 7
Cheque extra (útil para entender a estrutura da P.A.): podemos achar
e a razão
.
-
-
com , então . - Assim a razão é
.
Logo a fórmula geral é
e verificando para
:
mesmo resultado — bom para confirmar.