Resolva:
d) Para qualquer n, a soma S_{n} dos n primeiros termos de uma P.A é dada por S_{n}=3 n^{2}+n. Encontre a_{30}.

Passo 1

O enunciado dá que, para qualquer n, a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é
S_{n}=3n^{2}+n.
A pergunta é: encontrar a_{30}, o trigésimo termo da progressão aritmética.
Obs.: peguei a fórmula S_{n}=3n^{2}+n a partir do enunciado (imagem).

Passo 2

Uma ideia fundamental (muito útil em provas): a soma dos primeiros n termos e a soma dos primeiros n-1 termos diferem exatamente pelo n-ésimo termo. Em símbolos,
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Explicando por que isso vale: S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n e S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}. Subtraindo, sobra a_n.

Passo 3

Aplicando essa relação para n=30,
a_{30}=S_{30}-S_{29}.

Passo 4

Calcular S_{30} usando a fórmula dada:
S_{30}=3\cdot 30^{2}+30.
Como 30^{2}=900, temos
S_{30}=3\cdot 900 + 30 = 2700 + 30 = 2730.

Passo 5

Calcular S_{29}:
S_{29}=3\cdot 29^{2}+29.
Como 29^{2}=841, temos
S_{29}=3\cdot 841 + 29 = 2523 + 29 = 2552.

Passo 6

Subtrair para obter a_{30}:
a_{30}=S_{30}-S_{29}=2730-2552=178.

Passo 7

Cheque extra (útil para entender a estrutura da P.A.): podemos achar a_1 e a razão d.
  • a_1=S_1=3\cdot1^{2}+1=3+1=4.
  • a_2=S_2-S_1 com S_2=3\cdot2^{2}+2=12+2=14, então a_2=14-4=10.
  • Assim a razão é d=a_2-a_1=10-4=6.
Logo a fórmula geral é
a_n=a_1+(n-1)d=4+(n-1)\cdot 6=6n-2,
e verificando para n=30:
a_{30}=6\cdot 30 -2 =180-2=178,
mesmo resultado — bom para confirmar.

Resposta

178

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