Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+1}{y^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 1}{y^3}.
O conteúdo é equação de variáveis separáveis: vamos isolar em um lado os termos com y e, no outro, os termos com x, e então integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y^3\,dx para separar variáveis:
y^3\,dy = (x^2 + 1)\,dx.

Passo 3

Integramos cada membro:
\int y^3\,dy = \int (x^2 + 1)\,dx
o que resulta em
\frac{y^4}{4} = \frac{x^3}{3} + x + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos por 4 e definimos C_1 = 4C, obtendo
y^4 = \frac{4}{3}\,x^3 + 4\,x + C_1.
Por fim, isolamos y:
y = \pm \sqrt[4]{\frac{4}{3}\,x^3 + 4\,x + C_1}.

Resposta

y^4 = \frac{4}{3}\,x^3 + 4\,x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \sqrt[4]{\frac{4}{3}\,x^3 + 4\,x + C_1}.

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